La ecuación de una familia de elipses es 4x2+9y2-ax-by-11=0 hallar la ecuacion del elemento de la familia que pasa por los puntos (2,3) y (5,1)
Respuestas
La ecuación de la elipse que pasa por los puntos (2,3) y (5,1) es:
4x² + 9y² - 16x - 18y - 11 = 0
Explicación:
Los puntos que forman parte de la gráfica (por donde pasa la elipse) satisfacen la ecuación; es decir, al sustituir los valores de x y en la ecuación ésta es igual a cero.
Entonces, vamos a sustituir los puntos en la ecuación y a resolver el sistema de ecuaciones resultante en a y b:
(2, 3): 4(2)² + 9(3)² - a(2) - b(3) - 11 = 0
(5, 1): 4(5)² + 9(1)² - a(5) - b(1) - 11 = 0
De aquí:
86 - 2a - 3b = 0
98 - 5a - b = 0
Multiplicamos la segunda ecuación por -3, aplicando el método de reducción:
86 - 2a - 3b = 0
-294 + 15a + 3b = 0
Al sumar las ecuaciones se obtiene el valor de a:
-208 + 13a = 0 ⇒ a = 16
Sustituyendo en cualquiera de las ecuaciones se obtiene el valor de b:
98 - 5(16) - b = 0 ⇒ b = 18
Finalmente, sustituimos los valores hallados de a y b para obtener la ecuación de la elipse:
4x² + 9y² - (16)x - (18)y - 11 = 0
La ecuación de la elipse que pasa por los puntos (2,3) y (5,1) es:
4x² + 9y² - 16x - 18y - 11 = 0