Question

PROBLEMAS APLICACIÓN DE LAS DERIVADAS
A: Calcular máximos, mínimos y puntos de inflexión de la función
f (x)=2/7 x^3-2x+6

Answer 1

Una función tiene un máximo o un mínimo en los puntos en que su primera derivada es nula y la segunda es negativa o positiva respectivamente.

Hay un punto de inflexión en los puntos de segunda derivada nula y terecera distinta de cero.

Derivamos tres veces.

f '(x) = 6/7 x² - 2

f ''(x) = 12/7 x

f '''(x) = 12/7

Máximos y mínimos: f '(x) = 0

6/7 x² - 2 = 0; x = ±√(7/3) ≅ ± 1,53

f ''(x) = 12/7 . √(7/3) > 0, mínimo en √(7/3)

f ''(x) = 12/7 .[ -√(7/3)] < 0, máximo en -√(7/3)

Punto de inflexión:

f ''(x) = 12/7 x = 0; x = 0

f '''(x) ≠ 0; hay punto de inflexión en x = 0

Valores críticos.

Máximo: 2/7 [-√(7/3)]³ - 2 [-√(7/3)]² + 6 ≅ 8,04

Mínimo: 2/7 [√(7/3)]³ - 2 [√(7/3)]² + 6 ≅ 3,96

Punto de inflexión en x = 0

Coordenadas:

Máximo: (-1,53; 8,04)

Mínimo: (1,53; 3,96)

Punto de inflexión: (0, 6)

Adjunto gráfico con los puntos críticos marcados.

Saludos.