Question

Hallar la ecuación del conjunto de todos los puntos de intersección de los siguientes planos:
π_1=7x-y+5z=125 ; π_2=x-2y+10z=58

Answer 1

La recta intersección de los dos planos es $(x,y,z)=(\frac{192}{13};12+5t;t); t\in R$

Explicación paso a paso:

Para hallar la recta intersección debemos encontrar un vector director y un punto de la recta. El vector director lo podemos encontrar mediante el producto vectorial de los vectores asociados a los dos planos debido a que la recta es paralela a ambos:

$\bar{w}=\bar{v_1}\times\bar{v_2}=det\left[\begin{array}{ccc}i&j&k\\7&-1&5\\1&-2&10\end{array}\right] \\\\\bar{w}=i((-1).10-(-2).5)-j(7.10-1.5)+k(7(-2)-1(-1))=(0;-65;-13)$

Podemos dividir las 3 coordenadas por -13 y el vector director queda (0,5,1).

Las expresiones de los dos planos forman un sistema de ecuaciones cuyo conjunto solución son los puntos de la recta. Podemos hacer z=0 en las dos ecuaciones y resolver el sistema resultante:

7x-y=125

x-2y=58

Multiplicamos por 7 la segunda y las restamos entre sí:

7x-y=125

7x-14y=406

13y=156

y=12

Ahora multiplicamos por 2 la primera ecuación y también las restamoss entre sí:

14x-2y=250

x-2y=58

13x=192

x=192/13

La recta queda, en sus ecuaciones paramétricas:

$(x,y,z)=(\frac{192}{13};12+5t;t); t\in R$