Question

AYUDENMEEE PORFAVOR!!!
★Cuántos divisores tiene: 24²×42⁴?
★Hallar"n",si 36 elevado a la n tiene 46 divisores compuestos.
★Calcular el cuadrado de"n",si:N=14 elevado a la n+1 y 24 a la n tiene 72 divisores no divisibles por 84.

Answer 1

1.¿Cuántos divisores tiene 24²×42⁴?
Descompones tus números como producto de números primos:
$24^2=(3^1\cdot2^3)^2=3^2\cdot2^6 \\ 42^4=(2\cdot3\cdot7)^2=2^4\cdot3^4\cdot7^4 \\ 24^2\ x\ 42^4=3^2\cdot2^6\cdot2^4\cdot3^4\cdot7^4=2^{10}\cdot3^6\cdot7^4$

Para calcular los divisores sólo le sumas 1 a las potencias de los números primos y las multiplicas entre sí:
(10+1) x (6+1) x (4+1) = 11 x 7 x 5 = 385

Tiene 385 divisores

2. Hallar"n",si 36 elevado a la n tiene 46 divisores compuestos
Descompones a 36 como producto de factores primos:
$36^n=6^n\cdot6^n=2^n\cdot3^n\cdot2^n\cdot3^n=2^{2n}\cdot3^{2n}$

Primero calculas el número de divisores que tiene, le sumas 1 a la potencia de sus números y los multiplicas entre sí:
$(2n+1)(2n+1)=4n^2+4n+1$

Como sólo te preguntan por los divisores compuestos, le restas el divisor 1,2 y 3 que no son compuestos y lo igualas a 46:
$(4n^2+4n+1)-3=46=4n^2+4n-2 \\ 4n^2+4n-48=0 \\ n^2+n-12=0 \\ (n+4)(n-3)=0 \\ \\ n_1=-4 \\ n_2=3$

Tomas la solución positiva: n=3

3. Calcular el cuadrado de"n"= Si N es igual a 14 elevado a n+1 multiplicado por 24 a la n, tiene 72 divisores no divisibles por 84:
$N=14^{(n+1)}\cdot24^n=(7\cdot2)^{(n+1)}\cdot(2^3\cdot3)^n \\ =2^{(n+1)}\cdot2^{3n}\cdot3^n\cdot7^{(n+1)}=2^{(4n+1)}\cdot3^n\cdot7^{(n+1)}$

$84=2^2\cdot3\cdot7$

$2^{(4n+1)}\cdot3^n\cdot7^{(n+1)}=(2^2\cdot3\cdot7)^n\cdot2^{(2n+1)}\cdot7 \\ =84^n\cdot2^{(2n+1)}\cdot7=84\cdot2^{(4n-1)}\cdot3^{(n-1)}\cdot7^n$

Total de divisores:
$(4n+2)(n+1)(n+2)=4n^3+14n^2+10n-72=0$

Divisores que son divisibles por 84:
$(4n-1+1)(n-1+1)(n+1)=4n(n)(n+1)=4n^3+4n^2$

Al total de divisores de N le restas los divisores que si son divisibles por 84 y lo igualas a 72:

$(4n^3+14n^2+14n+4)-(4n^3+4n^2)=10n^2+14n+4=72 \\ 5n^2+7n+2=36 \\ 5n^2+7n-34=0 \\ (5n+17)(n-2)=0 \\ n_1=-17/5 \\ n_2=2$

$n=2\Rightarrow \boxed{n^2=4}$

Saludos!

Answer 2

Respuesta:

Explicación paso a paso:

1.¿Cuántos divisores tiene 24²×42⁴?

Descompones tus números como producto de números primos:

Para calcular los divisores sólo le sumas 1 a las potencias de los números primos y las multiplicas entre sí:

(10+1) x (6+1) x (4+1) = 11 x 7 x 5 = 385

Tiene 385 divisores

2. Hallar"n",si 36 elevado a la n tiene 46 divisores compuestos

Descompones a 36 como producto de factores primos:

Primero calculas el número de divisores que tiene, le sumas 1 a la potencia de sus números y los multiplicas entre sí:

Como sólo te preguntan por los divisores compuestos, le restas el divisor 1,2 y 3 que no son compuestos y lo igualas a 46:

Tomas la solución positiva: n=3

3. Calcular el cuadrado de"n"= Si N es igual a 14 elevado a n+1 multiplicado por 24 a la n, tiene 72 divisores no divisibles por 84:

Total de divisores:

Divisores que son divisibles por 84:

Al total de divisores de N le restas los divisores que si son divisibles por 84 y lo igualas a 72: