Question

De acuerdo a la teoría de máximos y mínimos resuelva las siguientes funciones:

Answer 1

Se aplican criterios de primera y segunda derivada para extremos relativos y se definen estos, si existen, en cada una de las funciones dadas.

Explicación paso a paso:

a)     $\bold{f(x)~=~2x^{2}~-~3}$

Los valores máximos y mínimos de una función se obtienen usando los criterios de primera y segunda derivada para extremos relativos.  

Primero, hallamos los puntos críticos de la función. Esto es derivar la función e igualar a cero. Los puntos que satisfacen esta ecuación son los puntos críticos de    x.  

OBS: los valores de x que hacen indefinida la función derivada también son puntos críticos; pero en estos ejercicios esos valores no llevan a extremos relativos, por lo que no se tomarán en cuenta.

$f'~=~[2x^{2}~-~3]'~=~4x$

$f'~=~0 \quad \Rightarrow \quad 4x~=~0\quad \Rightarrow \quad x~=~0$

Este es el punto crítico o posible extremo de la función.

Segundo, hallamos la derivada de segundo orden que nos permitirá decidir si el punto crítico considerado es un máximo, segunda derivada negativa, o un mínimo, segunda derivada positiva.

$f''~=~(4x)'~=~4$

Tercero, evaluamos la segunda derivada en el punto crítico y aplicamos el criterio de decisión correspondiente.

$f''_{(0)}~=~4~>~0\qquad \Rightarrow \qquad \bold{x~=~0~~es~un~m\acute{i}nimo~de~f(x)}$

Cuarto, evaluamos la función en el valor mínimo de    x    y obtenemos el valor mínimo de    f.

$\bold{f_{(0)}~=~[2(0)^{2}~-~3]'~=~-3}$

f(x) tiene un mínimo en el punto (0, -3)

b)     $\bold{f(x)~=~\dfrac{1}{4~-~x^{2}}}$

Repetimos el procedimiento en a).  

$f'~=~[\dfrac{1}{4~-~x^{2}}]'~=~\dfrac{2x}{(4~-~x^{2})^{2}}$

$f'~=~0 \quad \Rightarrow \quad \dfrac{2x}{(4~-~x^{2})^{2}}~=~0\quad \Rightarrow \quad x~=~0$

Este es el punto crítico o posible extremo de la función.

$f''~=~[\dfrac{2x}{(4~-~x^{2})^{2}}]'~=~\dfrac{8~+~6x^{2}}{(4~-~x^{2})^{3}}$

$f''_{(0)}~=~\dfrac{8~+~6(0)^{2}}{[4~-~(0)^{2}]^{3}}~>~0\qquad \Rightarrow \qquad \bold{x~=~0~~es~un~m\acute{i}nimo~de~f(x)}$

$\bold{f_{(0)}~=~[\dfrac{1}{4~-~(0)^{2}}]'~=~\dfrac{1}{4}}$

f(x) tiene un mínimo en el punto (0, ¹/₄)

c)     $\bold{f(x)~=~\dfrac{x~+~1}{x~-~1}}$

Repetimos el procedimiento en a).  

$f'~=~[\dfrac{x~+~1}{x~-~1}]'~=~-\dfrac{2}{(x~-~1)^{2}}$

$f'~=~0 \quad \Rightarrow \quad -\dfrac{2}{(x~-~1)^{2}}~=~0\quad \Rightarrow \quad \bold{no~hay~valor~de~x~que~satisfaga~la~ecuaci\acute{o}n}$

No hay punto crítico o posible extremo de la función.  Esta es una condición necesaria. Al no existir puntos críticos, significa que la función no tiene extremos.