Respuestas
Una función tiene un máximo o un mínimo en los puntos de primera derivada nula y segunda derivada negativa o positiva respectivamente en los puntos críticos.
Una función tiene un punto de inflexión si la segunda derivada es nula y la tercera derivada no nula en el punto correspondiente.
f (x) = x³/3 + 1/2 x²- 6 x
f '(x) = x² + x - 6
f ''(x) = 2 x + 1
f '''(x) = 2
Máximos y mínimos: x² + x - 6 = 0; ecuación de segundo grado.
Resultan: x = - 3, x = 2; reemplazamos en la segunda derivada.
f ''(-3) = 2 . (-3) + 1 = -5, negativa, hay máximo en x = - 3
f ''(2) = 2 . 2 + 1 = 5, positiva, hay mínimo en x = 2
Máximo: f (-3) = 27/2 = 13,5
Mínimo: f (2) = - 22/3 = - 7,33
Hay punto de inflexión porque f '''(x) ≠ 0
f ''(x) = 0 = 2 x + 1; x = - 1/2
f (-1/2) = 37/12
Respuestas.
Máximo = 27/2
Mínimo = - 22/3
Punto de inflexión: P(-1/2, 37/12)
Adjunto gráfico de la función con los puntos críticos.
Saludos.
