Question

El volumen de un cubo está cambiando a razón de 75 cm³/minuto. a) Hallar la razón de cambio de su lado cuando mide 5 cm b) Hallar la razón de cambio del área superficial cuando ésta es de 24 cm²? Por favor urge

Answer 1

Respuesta: qwq

Explicación paso a paso: sólo hallé B

Answer 2

Cuando el lado mide  5  cm y el volumen está aumentando a razón de 75 cm³/min, el lado del cubo crece a razón de  1  cm/minuto.

Explicación paso a paso:

El volumen V y el área superficial A de un cubo de lado  x  se calcula:

$\bold{V~=~x^3\qquad\qquad A~=~6\cdot x^2}$

Ahora veamos las interrogantes:

a)  Razón de cambio del lado cuando mide  5  cm

Para ello realizaremos el cálculo de la derivada de la función volumen, pero aplicando derivación implícita, pues la variable independiente es el tiempo t.

$\bold{\dfrac{dV}{dt}~=~3\cdot x^{2}\cdot \dfrac{dx}{dt}}$

Sustituimos los valores conocidos y despejamos la razón de cambio del lado.

$\bold{75~=~3\cdot (5)^{2} \cdot \dfrac{dx}{dt}\qquad\Rightarrow\qquad\dfrac{dx}{dt}~=~1~\frac{cm}{min}}$

En definitiva, cuando el lado mide  5  cm y el volumen está aumentando a razón de 75 cm³/min, el lado del cubo crece a razón de  1  cm/minuto.

b)  Razón de cambio del área superficial cuando ésta es de  24  cm²

Para ello realizaremos el cálculo de la derivada de la función área superficial, aplicando derivación implícita.

$\bold{\dfrac{dA}{dt}~=~12\cdot x\cdot \dfrac{dx}{dt}}$

Necesitamos conocer el valor de  x  cuando el área superficial es  24 cm².  Para ello sustituimos en la función A.

24  =  6 x²    de donde        x  =  2  cm

Ahora calculamos la razón de cambio del lado a partir de la derivada de la función V

$\bold{75~=~3\cdot (2)^{2} \cdot \dfrac{dx}{dt}\qquad\Rightarrow\qquad\dfrac{dx}{dt}~=~\dfrac{25}{4}~\frac{cm}{min}}$

Finalmente, sustituimos y calculamos la razón de cambio del área superficial

$\bold{\bold{\dfrac{dA}{dt}~=~12\cdot (2)\cdot \dfrac{25}{4}}\qquad\Rightarrow\qquad\dfrac{dA}{dt}~=~150~\frac{cm^2}{min}}$

Cuando el área superficial es de  24  cm²,  el lado mide  2  cm y el volumen está aumentando a razón de 75 cm³/min, el área superficial del cubo crece a razón de  150  cm²/minuto.

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