Question

integración por sustitución​

Answer 1

Tu integral propuesta:

$\int \frac{2-\sqrt{x}}{\sqrt{x}}dx$ = $4\sqrt{x}-x+C$

Paso a paso:

Aplicando las propiedades de las fracciones $\frac{a\pm \:b}{c}=\frac{a}{c}\pm \frac{b}{c}$ tenemos lo siguiente:

$\int \frac{2}{\sqrt{x}}-\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}} dx$

Desarrollando,

$\int \frac{2}{\sqrt{x}}-1dx$

Aplicando la regla de la suma, esta ($\int f\left(x\right)\pm g\left(x\right)dx=\int f\left(x\right)dx\pm \int g\left(x\right)dx$ ), tenemos lo siguiente:

$\int \frac{2}{\sqrt{x}}dx-\int \:1dx$

Ahora, resolveré primero la primera parte de lo anterior,

Sacando la constante:

$2\cdot \int \frac{1}{\sqrt{x}}dx$

Aplicando reglas de potenciación $\int x^adx=\frac{x^{a+1}}{a+1}$, tenemos:

$2\cdot \frac{x^{-\frac{1}{2}+1}}{-\frac{1}{2}+1}$

Simplificando:

$\quad 4\sqrt{x}$

Ahora desarrollaré la segunda parte o sea, $\int \:1dx$

$\int \:1dx=x$

"Juntando todo", tenemos:

$4\sqrt{x}-x$

Y el resultado añadiendo la constante sería:

$4\sqrt{x}-x+C$

Adjunto un ejemplo de un ejercicio que se resuelve por el método de sustitución