cuáles de los siguientes sistemas deben tener soluciones no triviales?
a) a11x1 + a12x2=0
a21x1 + a22x2=0
b) a11x1 + a12x2=0
a21x1 + a22x2=0
a31x1 + a32x2=0
c) a11x1 + a12x2 + a13x3=0
a21x1 + a22x2 + a23x3=0
Respuestas
Respuesta:
Explicación paso a paso:
Todo sistema de ecuaciones lineales tiene una solución, una infinidad de soluciones, o ninguna solución. Y son estas soluciones las que se intentarán obtener a partir de nuestra ecuación. En esta ocación se tratará un tipo especial de sistemas de ecuaciones, que son las homogéneas.
Un sistema de ecuaciones lineales es homogéneo si todos los términos constantes son cero; es decir, el sistema tiene la forma:
a11x1a21x1⋮am1x1+a12x2+a22x2+⋮+am2x2+…+…+⋱+…+a1nxn+a2nxn+⋮+amnxn=0=0=⋮=0
Todo sistema homogéneo de ecuaciones lineales es consistente, ya que x1 = 0, x2 = 0, … , xn = 0 siempre es una solución. Esta solución se conoce como solución trivial; si existen otras soluciones, se dice que son soluciones triviales.
Dado que un sistema homogéneo de ecuaciones lineales debe ser consistente, se tiene una solución o infinidad de soluciones. Puesto que una de estas soluciones es trivial, se puede afirmar lo siguiente: Para un sistema homogéneo de ecuaciones lineales, se cumple exactamente una de las siguientes proposiciones:
El sistema tiene sólo una solución trivial
El sistema tiene una infinidad de soluciones no triviales además de la trivial
Existe un caso en el que queda asegurado que un sistema homogéneo tiene soluciones no triviales; a saber, siempre que el sistema comprende las incógnitas que ecuaciones. Para ver la razón de esto, considere el ejemplo siguiente de cuatro ecuaciones con cinco incógnitas.
A continuación veamos un ejemplo. Resolvamos el sistema homogéneo de ecuaciones lineales que sigue, aplicando la eliminación de Gauss- Jordan.
2x1−x1x1+2x2−x2−x2−x3−x3−x3x3−3x4+2x4+x4x5+x5−x5+x5=0=0=0=0