Question

un recipiente tiene forma de cono con 0.4 metros de radio de la base y 2 metros de altura. el recipiente, que originalmente esta vació, se empieza a llenar de agua a través de una llave que se encuentra en l a parte superior. La llave arroja agua al deposito a razón constante de 0.01 metros cúbicos/minuto (10 litros por minuto)

como es de esperarse, la altura h del nivel de la superficie del agua se ira incrementando a medida que el tiempo t transcurre.

sera constante la razón de cambio de h con respecto a t?

argumenta tu respuesta.

que formula se emplea para sacar el valor de la altura h (en metros) para los primeros 12 minutos de tiempo.

espero me puedan ayudar saludos.

Answer 1

Supongo el cono invertido, es decir la base hacia arriba. (debió explicarse en el problema)

Consideremos una altura h desde el vértice. A esta altura le corresponde un radio r

Se forman triángulos semejantes de modo que:

0,4 / 2 = r / h; o sea h = 5 r

El volumen contenido en este cono (el menor) es:

V = 1/3 π r² h; si queremos la variación de h, reemplazamos r = h/5

V = 1/3 π (h/5)² h = π/75 h³

Las variaciones de volumen respecto del tiempo es el caudal:

Q = dV/dt = 0,01 m³/min = 3 π/75 h² . dh/dt = π/25 h² . dh/dt

despejamos dh/dt (variación de altura respecto del tiempo)(omito unidades):

dh/dt = (0,01 . 25 / π) / h²

Como se observa, las variaciones de h no son constantes (dependen de h² que a su vez depende del tiempo.

En 12 minutos se han vertido V = 0,01 m³ / min . 12 min = 0,12 m³

Por lo tanto: h³ = 0,12 m³ . 75 / π = 2,86 m³

Luego h = 1,42 m

Saludos Herminio