Question

La función f (x) = a3 + b x2 + cx + d tiene un máximo relativo en x=1 y un punto de inflexión en (0,0).
Además, ∫_0^1 f(x) = 5/4 . Calcula el valor de a, b, c y d.

Answer 1

Supongo que esta es la función
$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$

derivamos
$f'(x)=3ax^2+2bx+c$

y como x = 1 es un máximo, entonces
                                     $f'(1)=0\\3a+b+c=0$

como (0,0) es un punto de inflexión, entonces por ser punto de f entonces d = 0
además

                                        $f''(x)=6ax+2b$
                                            $f''(0)=2b=0$

hasta aquí tenemos  $f(x)=ax^3+cx$

por el otro dato
                               $\int\limits_0^1f(x)dx =5/4$

$\int\limits_0^1{ax^3+cx } \text{ }dx = \frac{ax^4}4+\frac{cx^2}2 \text { }|\limts_{0}^1 = a/4+c/2 = 5/4$

entonces tenemos que resolver este sistema
$\left \{ {{3a+c=0} \atop {a+2c=5}} \right.$

                                    $a=-1 \wedge c=3$

entonces la función es
                                      $f(x)=-x^3+3x$