Question

Un ensayo de matemática consta de 45 preguntas de cinco alternativas cada una y para cada pregunta existe solo una alternativa correcta. Si un estudiante contesta toda la prueba al azar, marcando solo una alternativa en cada pregunta, y las preguntas son independientes entre sí. ¿Cuál es la probabilidad de obtener exactamente 12 respuestas correctas?

Answer 1

Este es un experimento que sigue el modelo de la distribución binomial.

Definimos x= número de aciertos en las 45 preguntas.

En este caso, cada pregunta es cada una de las pruebas que se repiten, o sea, n = 40.

De la manera que está planteado el problema sólo hay dos posibles resultados, o acierta (éxito, pues me preguntan sobre los aciertos) o no acierta (fracaso) y la probabilidad de acierto en cada prueba es la misma,  1/5.  (Cada preguntas tiene cinco alternativas y para cada pregunta existe solo una alternativa correcta)

Por tanto efectivamente x sigue una distribución binomial;  x es   B(45, 1/5) y el problema me pide P[x = 12]

Para calcular esa probabilidad, observamos que x = 12 significa 12 aciertos y 33 fallos, osea $(\frac{1}{5})^{12} * (\frac{4}{5})^{33}$ . Además hay que tener en cuenta cómo repartir los 12 acierto a lo largo de las 45 preguntas; no importa el orden y no se pueden repetir las preguntas, por tanto combinación sin repetición de 45 elementos tomados de 12 en 12.

Luego la probabilidad pedida es:

$P = [x=12] = \frac{45!}{12! * 33!} * (\frac{1}{5})^{12} * (\frac{4}{5})^{33}\\\\P = [x=12] = 0.0746$

Rpta ---> La probabilidad de obtener exactamente 12 respuestas correctas es de 0.0746.