Question

¿Cuanto es AB y AE?
No le entiendo ayuda

Answer 1

Respuesta:

$AB = \sqrt{2c^{2} + 2ac}$

$AE = \sqrt{2c^{2} - 2ac}$

Explicación paso a paso:

El triángulo ABE es un triángulo rectángulo, ya que uno de sus lados (BE) se encuentra en el diámetro del círculo.

De la misma manera BC = AC = CE ya que son los radios del círculo.

AD es altura del triángulo rectángulo ABE.

Cálculo de AB:

Como el triángulo BDA es rectángulo, ya que AD es altura, podemos utilizar el teorema de pitágoras para hallar el lado AB.

$AB^{2} = BD^{2} + AD^{2}$

$AB^{2} = (a + c)^{2} + b^{2}$   (desarrollamos el producto notable)

$AB^{2} = a^{2} + 2ac + c^{2} + b^{2}$

Ahora, en el triángulo rectángulo CDA también se cumple el teorema de pitágoras, por lo tanto: $c^{2} = a^{2} + b^{2}$.

Podemos entonces, reemplazar este valor en la ecuación anterior, así:

$AB^{2} = a^{2} + b^{2} + c^{2} + 2ac$   (pero, $c^{2} = a^{2} + b^{2}$)

$AB^{2} = c^{2} + c^{2} + 2ac$

$AB^{2} = 2c^{2} + 2ac$

$AB = \sqrt{2c^{2} + 2ac}$

Cálculo de AE:

Como el triángulo ADE es rectángulo, ya que AD es altura, podemos utilizar el teorema de pitágoras para hallar el lado AE.

$AE^{2} = AD^{2} + DE^{2}$

$AE^{2} = b^{2} + (c-a)^{2}$    (desarrollamos el producto notable)

$AE^{2} = a^{2} - 2ac + c^{2} + b^{2}$

Ahora, en el triángulo rectángulo CDA también se cumple el teorema de pitágoras, por lo tanto: $c^{2} = a^{2} + b^{2}$

Podemos entonces, reemplazar este valor en la ecuación anterior, así:

$AE^{2} = a^{2} + b^{2}+ c^{2} - 2ac$   (pero, $c^{2} = a^{2} + b^{2}$)

$AE^{2} = c^{2} + c^{2} - 2ac$

$AE^{2} = 2c^{2} - 2ac$

$AE = \sqrt{2c^{2} - 2ac}$