cuanto deberia medir por lados cuadrados que se recorten en las esquinas si se quiere oobtener el mayor volmen posible?
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Respuesta:
Veamos...
a. Consideramos que la hoja mide L por lado y que el corte es de 3 pulgadas
Luego entonces, sugiero que hagas un dibujo de la plantilla. Allí verás que los lados de la caja miden L - 6 y la altura es de 3. Considerando que el volumen de un prisma es el producto de las medidas de sus lados, entonces el volumen viene dado por:
V = (3)(L-6)(L-6)
Si se solicita que el Volumen sea de 108 inch^3, entonces
V = (3)(L-6)(L-6) = 108
(3)(L-6)(L-6) = 108
(L-6)(L-6) = 108/3 = 36; luego, vemos que (L-6)(L-6) = (L-6)^2
(L-6)^2 = 36
L-6 = Raiz(36) = 6
L-6=6
L=6+6
L=12
Y entonces la hoja debe medir 12 pulgadas de lado.
b. Si se pretende un volumen menor a las 108Inch^2
(3)(L-6)(L-6) < 108
(L-6)^2 < 108/3
(L-6)^2 < 36
L-6 < raiz(36)
L-6 < 6
L< 6+6
L< 12
La hoja debe medir menos de 12 pulgadas por lado
c. Si queremos obtener el volumen máximo y nos solicitan las medidas de los cuadritos de las esquinas, entonces debemos fijar las dimensiones de la hoja.
En este caso consideraremos que la hoja mide 12X12 y buscaremos el valor del corte que hace máximo el volumen.
Sea "x" la medida del lado del cuadro a cortar
Sugiero que vuelvas a trazar la plantilla -haz tu dibujo- para que verifiques que el prisma tendría las dimensiones Largo = 12 - 2x Ancho = 12 - 2x Alto = x; por lo que el volumen está determinado por:
V = x (12 - 2x) (12 - 2x) = x (12 - 2x)^2
Si aún no estudias cálculo diferencial -porque el punto corresponde a un problema de máximos y mínimos-, sugiero que tabules esta función para obtener el valor de x que hace máximo el volumen, del modo que sigue:
x | V(x) = x (12 - 2x)^2
0 V = 0
0.5
1 V = (1)(12-2)^2 = 100
1.5 V = (1.5)(12-3)^2 = 121.5
2 V =(4)(12-4)^2 = 256
2.5 V = (2.5)(12-5)^2 = 122.5
3 V =(3)(12-6)^2 = 108
A través de la tablita, te darás cuenta que el valor máximo ocurre cuando el corte es de 2 pulgadas, y el volumen máximo es de 256 pulgadas cúbicas...
Saludos