Question

si x-y=4 ; xy=3 halla : x al cubo - y al cubo

Answer 1

X - Y = 4   --->   X = 4 + Y               (1)
XY = 3                                           (2)

Como en la ecuación (1) tenemos despejada la X, sustituimos esta en la ecuación (2):
XY = 3
(4 + Y)Y = 3
4Y + Y² = 3
Y² + 4Y - 3 = 0

$y= \frac{-4+- \sqrt{4^{2}+4*3}}{2}= \frac{-4+-2 \sqrt{7}}{2}= \left \{ {{-2+ \sqrt{7}} \atop {-2- \sqrt{7}}} \right. \\ \\ Dos \ soluciones \ para \ y: \\ y_{1}=-2+ \sqrt{7} \\ y_{2}=-2- \sqrt{7}$

Sustituimos en la ecuación (1) el valor de Y para averiguar X. Como Y tiene dos valores, X también tendrá dos valores:
X = 4 + Y

Valor primero Y:  Y = -2+√7.
X = 4 + (-2+√7) = 2+√7
Valor primero X:  X = 2+√7.

Valor segundo Y:  Y = -2-√7.
X = 4 + (-2-√7) = 2-√7
Valor segundo X:  X = 2-√7.

SOLUCIONES:
Para valor primero:
X³ - Y³ = (√7+2)³ - (√7-2)³
Desarrollamos el primer paréntesis y después el segundo:
(√7+2)³ = (√7)³ + 3×7×2 + 3×√7×4 + 2³ = 7√7 + 42 + 12√7 + 8 = 50 + 19√7.
(√7-2)³ = (√7)³ - 3×7×2 + 3×√7×4 - 2³ = 7√7 - 42 + 12√7 - 8 = -50 + 19√7.
X³ - Y³ = (50 + 19√7) - (-50 + 19√7) = 50 + 19√7 + 50 - 19√7 = 100
X³ - Y³ = 100.

Para valor segundo:
X³ - Y³ = (2-√7)³ - (-2-√7)³
Para no hacer todo el desarrollo este lo he realizado con la calculadora y el resultado que sale es el mismo 100.
X³ - Y³ = (2-√7)³ - (-2-√7)³ = 100.