Question

$\sqrt[4]{5x {}^{2} - 6 } = x$
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Answer 1

Respuesta:

Los valores que son solución de la ecuación son:

$x=\sqrt{3},\:x=\sqrt{2}$

Explicación paso a paso:

$\sqrt[4]{5x {}^{2} - 6 } = x$

$\left(\sqrt[4]{5x^2-6}\right)^4=x^4$

$5x^2-6=x^4$

$x^4-5x^2+6=0$

Reescribimos la ecuación convirtiéndola en una de segundo grado llamado:

$u=x^2\\u^2=x^4$

Y así queda:

$u^2-5u+6=0$

$\mathrm{Para\:una\:ecuacion\:de\:segundo\:grado\:de\:la\:forma\:}ax^2+bx+c=0\mathrm{\:las\:soluciones\:son\:}\\\quad x_{1,\:2}=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

En nuestro caso:

$\mathrm{Para\:}\quad a=1,\:b=-5,\:c=6:\quad u_{1,\:2}=\frac{-\left(-5\right)\pm \sqrt{\left(-5\right)^2-4\cdot \:1\cdot \:6}}{2\cdot \:1}=\frac{5\pm \sqrt{25-24}}{2}=\frac{5\pm 1}{2}$

De ahí que:  $u=3,\:u=2$

Si habíamos dicho que u=x², resulta que:

$x^{2} =2;--> x=+\sqrt{2};x=-\sqrt{2}\\x^{2} =3;--> x=+\sqrt{3};x=-\sqrt{3}$

Hay que verificar cada una de esas posibles soluciones sustituyendo su valor en la ecuación original:

$x=\sqrt[4]{5x {}^{2} - 6}$

a)  Si $x= +\sqrt{3}$ resulta un valor VERDADERO, pues:

$\sqrt{3}=\sqrt[4]{5\left(\sqrt{3}\right)^2-6}=\sqrt[4]{5*3-6}=\sqrt[4]{9}=\sqrt[4]{3^{2} }=\sqrt{3}$

b)  Si $x= -\sqrt{3}$ resulta un valor FALSO, pues:

$-\sqrt{3}\not=\sqrt[4]{5\left(-\sqrt{3}\right)^2-6}=\sqrt[4]{5*3-6}=\sqrt[4]{9}=\sqrt[4]{3^{2} }=\sqrt{3}$

c)  Si $x= +\sqrt{2}$ resulta un valor VERDADERO, pues:

$\sqrt{2}=\sqrt[4]{5\left(\sqrt{2}\right)^2-6}=\sqrt[4]{5*2-6}=\sqrt[4]{4}=\sqrt[4]{2^{2} }=\sqrt{2}$

d)  Si $x= -\sqrt{2}$ resulta un valor FALSO, pues:

$-\sqrt{2}\not=\sqrt[4]{5\left(-\sqrt{2}\right)^2-6}=\sqrt[4]{5*2-6}=\sqrt[4]{4}=\sqrt[4]{2^{2} }=\sqrt{2}$