Si (1+2+3+...+n)+k=2015,siendo k un numero entre 1 y n inclusive,determine el valor de k

Respuestas

Respuesta dada por: F4BI4N
3
Hola ,

La suma de los primeros n numeros naturales es  =  \frac{n(n+1)}{2}
Por ejemplo ,

n  = 3 ,
1+2+3=6

Según la fórmula : 3 * 4 / 2 = 6

Inicialmente , asumiremos k = 0 ; Por lo tanto , tenemos :

 \frac{n(n+1)}{2} = 2015 \\
n(n+1) = 4030 \\
n^{2} + n - 4030 = 0 \\ \\
Resolvemos \ cuadratica : \\
 n =  \frac{-1+-  \sqrt{1-4*-4030} }{2} \\ \\
Solo \ nos \ sirve \ la \ solucion \ positiva : \\ \\  
n =  \frac{-1 + \approx 127}{2} = 63
     

Reemplazando en la fórmula , la suma de los primeros 63 números naturales es :

63 * 62 / 2 = 1953

Luego nos falta determinar un número tal que nos dé 2015 , que es el "k" :

1953 + k = 2015
k = 2015  - 1953 

k = 62

Cumple que 1 =< k =< 63

Saludos.

Respuesta dada por: CarlosMath
3
Como se sabe
1+2+3+...+n=

1+2+3+...+n=\frac{n(n+1)}{2} + k = 2015

como dato tenemos k\in[1,n]\in \matbb{N}
es decir

1\leq k \leq n

y por ende podemos deducir

1\leq 2015 -\frac{n(n+1)}{2}\leq n\\ n(n+1)\leq 2\times 2014\text{ } \wedge \text{ } n^2+3n-2\times 2015\geq0

de la segunda inecuación tenemos
n\geq 62 \vee n \leq -65

por eso n = 62

que cumple con la otra inecuación del disyuntor, n \neq 63, por que no se cumple la segunda inecuación cuando n=63

y
k = 62



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