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3
Hola ,
La suma de los primeros n numeros naturales es =![\frac{n(n+1)}{2} \frac{n(n+1)}{2}](https://tex.z-dn.net/?f=+%5Cfrac%7Bn%28n%2B1%29%7D%7B2%7D+)
Por ejemplo ,
n = 3 ,
1+2+3=6
Según la fórmula : 3 * 4 / 2 = 6
Inicialmente , asumiremos k = 0 ; Por lo tanto , tenemos :
![\frac{n(n+1)}{2} = 2015 \\
n(n+1) = 4030 \\
n^{2} + n - 4030 = 0 \\ \\
Resolvemos \ cuadratica : \\
n = \frac{-1+- \sqrt{1-4*-4030} }{2} \\ \\
Solo \ nos \ sirve \ la \ solucion \ positiva : \\ \\
n = \frac{-1 + \approx 127}{2} = 63 \frac{n(n+1)}{2} = 2015 \\
n(n+1) = 4030 \\
n^{2} + n - 4030 = 0 \\ \\
Resolvemos \ cuadratica : \\
n = \frac{-1+- \sqrt{1-4*-4030} }{2} \\ \\
Solo \ nos \ sirve \ la \ solucion \ positiva : \\ \\
n = \frac{-1 + \approx 127}{2} = 63](https://tex.z-dn.net/?f=+%5Cfrac%7Bn%28n%2B1%29%7D%7B2%7D+%3D+2015+%5C%5C%0An%28n%2B1%29+%3D+4030+%5C%5C%0An%5E%7B2%7D+%2B+n+-+4030+%3D+0+%5C%5C+%5C%5C%0AResolvemos+%5C+cuadratica+%3A+%5C%5C%0A+n+%3D++%5Cfrac%7B-1%2B-++%5Csqrt%7B1-4%2A-4030%7D+%7D%7B2%7D+%5C%5C+%5C%5C%0ASolo+%5C+nos+%5C+sirve+%5C+la+%5C+solucion+%5C+positiva+%3A+%5C%5C+%5C%5C++%0An+%3D++%5Cfrac%7B-1+%2B+%5Capprox+127%7D%7B2%7D+%3D+63+)
Reemplazando en la fórmula , la suma de los primeros 63 números naturales es :
63 * 62 / 2 = 1953
Luego nos falta determinar un número tal que nos dé 2015 , que es el "k" :
1953 + k = 2015
k = 2015 - 1953
k = 62
Cumple que 1 =< k =< 63
Saludos.
La suma de los primeros n numeros naturales es =
Por ejemplo ,
n = 3 ,
1+2+3=6
Según la fórmula : 3 * 4 / 2 = 6
Inicialmente , asumiremos k = 0 ; Por lo tanto , tenemos :
Reemplazando en la fórmula , la suma de los primeros 63 números naturales es :
63 * 62 / 2 = 1953
Luego nos falta determinar un número tal que nos dé 2015 , que es el "k" :
1953 + k = 2015
k = 2015 - 1953
k = 62
Cumple que 1 =< k =< 63
Saludos.
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3
Como se sabe
![1+2+3+...+n= 1+2+3+...+n=](https://tex.z-dn.net/?f=1%2B2%2B3%2B...%2Bn%3D)
![1+2+3+...+n=\frac{n(n+1)}{2} + k = 2015 1+2+3+...+n=\frac{n(n+1)}{2} + k = 2015](https://tex.z-dn.net/?f=1%2B2%2B3%2B...%2Bn%3D%5Cfrac%7Bn%28n%2B1%29%7D%7B2%7D+%2B+k+%3D+2015)
como dato tenemos![k\in[1,n]\in \matbb{N} k\in[1,n]\in \matbb{N}](https://tex.z-dn.net/?f=k%5Cin%5B1%2Cn%5D%5Cin+%5Cmatbb%7BN%7D)
es decir
![1\leq k \leq n 1\leq k \leq n](https://tex.z-dn.net/?f=1%5Cleq+k+%5Cleq+n)
y por ende podemos deducir
![1\leq 2015 -\frac{n(n+1)}{2}\leq n\\ n(n+1)\leq 2\times 2014\text{ } \wedge \text{ } n^2+3n-2\times 2015\geq0 1\leq 2015 -\frac{n(n+1)}{2}\leq n\\ n(n+1)\leq 2\times 2014\text{ } \wedge \text{ } n^2+3n-2\times 2015\geq0](https://tex.z-dn.net/?f=1%5Cleq+2015+-%5Cfrac%7Bn%28n%2B1%29%7D%7B2%7D%5Cleq+n%5C%5C+n%28n%2B1%29%5Cleq+2%5Ctimes+2014%5Ctext%7B+%7D+%5Cwedge+%5Ctext%7B+%7D+n%5E2%2B3n-2%5Ctimes+2015%5Cgeq0)
de la segunda inecuación tenemos
![n\geq 62 \vee n \leq -65 n\geq 62 \vee n \leq -65](https://tex.z-dn.net/?f=n%5Cgeq+62+%5Cvee+n+%5Cleq+-65)
por eso n = 62
que cumple con la otra inecuación del disyuntor,
, por que no se cumple la segunda inecuación cuando n=63
y
k = 62
como dato tenemos
es decir
y por ende podemos deducir
de la segunda inecuación tenemos
por eso n = 62
que cumple con la otra inecuación del disyuntor,
y
k = 62
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