Question

Si (1+2+3+...+n)+k=2015,siendo k un numero entre 1 y n inclusive,determine el valor de k

Answer 1

Hola ,

La suma de los primeros n numeros naturales es  = $\frac{n(n+1)}{2}$
Por ejemplo ,

n  = 3 ,
1+2+3=6

Según la fórmula : 3 * 4 / 2 = 6

Inicialmente , asumiremos k = 0 ; Por lo tanto , tenemos :

$\frac{n(n+1)}{2} = 2015 \\ n(n+1) = 4030 \\ n^{2} + n - 4030 = 0 \\ \\ Resolvemos \ cuadratica : \\ n = \frac{-1+- \sqrt{1-4*-4030} }{2} \\ \\ Solo \ nos \ sirve \ la \ solucion \ positiva : \\ \\ n = \frac{-1 + \approx 127}{2} = 63$
     

Reemplazando en la fórmula , la suma de los primeros 63 números naturales es :

63 * 62 / 2 = 1953

Luego nos falta determinar un número tal que nos dé 2015 , que es el "k" :

1953 + k = 2015
k = 2015  - 1953 

k = 62

Cumple que 1 =< k =< 63

Saludos.

Answer 2

Como se sabe
$1+2+3+...+n=$

$1+2+3+...+n=\frac{n(n+1)}{2} + k = 2015$

como dato tenemos $k\in[1,n]\in \matbb{N}$
es decir

$1\leq k \leq n$

y por ende podemos deducir

$1\leq 2015 -\frac{n(n+1)}{2}\leq n\\ n(n+1)\leq 2\times 2014\text{ } \wedge \text{ } n^2+3n-2\times 2015\geq0$

de la segunda inecuación tenemos
$n\geq 62 \vee n \leq -65$

por eso n = 62

que cumple con la otra inecuación del disyuntor, $n \neq 63$, por que no se cumple la segunda inecuación cuando n=63

y
k = 62