Question

En una investigación científica, una población de células crece exponencialmente. Si
después de 3 días hay 300 células y después de 6 días hay 900 células, ¿cuántas nuevas
células habrá en 12 días?
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Answer 1

PROGRESIONES GEOMÉTRICAS  (PG)

Se resuelve con progresiones geométricas donde cada término se obtiene a partir de multiplicar el término anterior por un número fijo e invariable llamado razón "r".

En este caso

• Valor del 3º término  a₃ = 300
• Valor del 6º término  a₆ = 900

Con eso podemos obtener el valor de la razón "r" de esta PG recurriendo a una fórmula donde necesitamos saber el valor de dos términos cualquiera y no necesariamente consecutivos, como en este caso.

Es lo que llamamos INTERPOLACIÓN de términos en una PG.

Para esto hay que ver que desde el 3º hasta el 6º término tenemos dos términos a interpolar: el 4º y el 5º,  y ese número de términos a interpolar lo llamaré "m=2".

También designaré como "a=300" al valor del 3º término y como "b=900" al valor del 6º término.

Con ello ya tengo los datos para aplicar la siguiente fórmula que me dirá la razón de esa PG.

$r=\sqrt[m+1]{\dfrac{b}{a} } =\sqrt[2+1]{\dfrac{900}{300}} =\sqrt[3]{3}$

Conocida la razón se usa la fórmula del término general de cualquier PG para saber el valor del primer término  a₁   donde usaremos el valor del tercer término   aₙ = a₃ = 300

La fórmula dice:   $a_n=a_1*r^{n-1}$   despejo  a₁  ...

$a_1=\dfrac{a_3}{r^{n-1} } =\dfrac{300}{(\sqrt[3]{3}) ^{3-1} }=\dfrac{300}{(\sqrt[3]{3}) ^{3-1}}=\dfrac{300}{\sqrt[3]{9} }=144\ ...\ (desestimo\ decimales)$

Conocido el valor de  a₁  se usa la misma fórmula para saber el valor del doceavo término que es lo que nos pide el ejercicio:

$a_{12}=144*(\sqrt[3]{3}) ^{12-1}=7.950\ c\'elulas$

En 12 días habrá aproximadamente 7.950 células

Saludos.