Question

Dados los puntos a=(2,1,4) y b =(3,-1,2) escribe las ecuaciones parametricas y continuas de la recta que pasa por a y b y averigua si el punto c=(1,3,7) pertenece a dicha recta

Answer 1

La recta L se expresa parametricamente por

x(t) = t + 2

y(t) = -2t + 1

z(t) = -2 + 4

Y el punto (1, 3, 7) no pertenece a L

Para poder determinar la ecuación paramétrica de la recta, simplemente debemos expresar parametricamente cada una de las coordenadas x, y y z

Esto es:

x(t) = at + b

y(t) = ct + d

z(t) = et + f

Tal que

x(0) = 2, x(1) = 3

y(0) = 1, y(1) = -1

z(0) = 4, z(1) = 2

Esto se hace  calculando la ecuación de la recta para cada coordenada, en específico

$x(t) = (x_1 - x_0)t + x_0\\\\y(t) = (y_1 - y_0) t + y_0\\\\z(t) = (z_1 - z_0)t + z_0$

Es decir

x(t) = (3 - 2)t + 2 = t + 2

y(t) = (-1 - 1)t + 1  = -2t + 1

z(t) = (2 - 4)t + 4 = -2t + 4

Ahora bien, para responder la segunda pregunta, debemos ver si existe una t' tal que

x( t' ) = 1

y( t' ) = 3

z( t' ) = 7

Es decir

t' + 2 = 1 ⇒t' = -1

y(-1) = -2(-1) + 1 = 3 = 3

z(-1) = -2(-1) + 4 = 6 ≠ 7

Por lo que el punto (1, 3, 7) no pertenece a la recta, pues