Se suelta una esfera sólida desde el reposo, y rueda sin deslizar hacia abajo por un plano inclinado y luego en un rizo circular de radio 12,6 m como se muestra en la figura. Calcule la altura mínima que debe soltar la esfera para que gira en el rizo sin caerse.
Respuestas
Origen de coordenadas la pie del rizo.
Sea H la altura de caída de la esfera.
En la rodadura se conserva la energía mecánica de la esfera.
Energía potencial arriba = energía potencial al borde superior del rizo + energía de cinética de traslación y de rotación en la parte alta del rizo.
m g H = m g . 2 R + 1/2 m V² + 1/2 I ω²
V es la velocidad crítica para que no se despegue del rizo:
La fuerza centrípeta es debe igual al peso de la esfera.
m V² / R = m g; por lo tanto V² = g R
Para una esfera sólida: I = 2/5 m r²
r es el radio de la esfera, que suponemos despreciable frente a R
Si no desliza es ω = V / r; ω² = g R / r²
Reemplazamos todo en la primera ecuación. (se cancela la masa)
g H = 2 g R + 1/2 g R + 1/2 . 2/5 r² g R / r²; cancelamos g y r
H = R (2 + 1/2 + 1/5) = 27/10 R
H = 27/10 . 12,6 m = 34,02 m
Herminio.