Question

Hola, quien me podría ayudar en este ejercicio, se los agradezco si me ayudan.

Answer 1

Respuesta:

$\int\limits^\frac{\pi }{2} _0 {\frac{cos(t)}{\sqrt{1 + sen^{2}(t) } } } \, dt$ ≅ 0,88137......

Explicación:

$\int\limits^\frac{\pi }{2} _0 {\frac{cos(t)}{\sqrt{1 + sen^{2}(t) } } } \, dt$

se realiza la siguiente sustitución y se la va a estudiar como una integral indefinida para mas simplicidad hasta encontrar su primitiva

u = sen(t)  ⇒   du/dt = cos(t)   ⇒   du = cos(t) dt

por lo tanto

$\int\limits {\frac{cos(t)}{\sqrt{1 + sen^{2}(t) } } } \, dt$  =   $\int\limits{\frac{du}{\sqrt{1 + u^{2} } } } \,$

ahora, se plantea otra sustitución la cual es:

$\sqrt{1 + u^{2} }$ = v - u      donde la nueva variable es v

se prosigue algebraicamente para encontrar dv

se eleva ambos miembros a cuadrado

$(\sqrt{1 + u^{2} })^{2}$ = (v - u)²

se desarrolla el binomio y se simplifica

1 + u² = v² -2vu + u²

1 = v² - 2vu

se despeja u

2vu = v² - 1   ⇒   u = $\frac{v^{2} - 1 }{2v}$     (1)

se deriva u con respecto a v

du/dv = (2v.2v - (v² - 1).2)/4v² = (4v² - 2v² + 2)/4v² = (2v² + 2)/4v²

         = (v² + 1)/2v²

entonces

du = ((v² + 1)/2v²) dv

ahora se tiene

$\int\limits({\frac{1}{v - u})\frac{v^{2} + 1 }{2v^{2} } } \, dv$    (2)

como se tiene que eliminar u de la expresión (2), por (1) se obtiene que

1/(v - u) = 1/(v - ((v² - 1)/2v)) = 1/((2v² - v² + 1)/2v)) = 2v/(v² + 1)

en consecuencia la integral queda

$\int\limits( {\frac{2v}{v^{2} + 1 })\frac{v^{2} + 1 }{2v^{2} } } \, dv$

se simplifica dando así

$\int\limits {\frac{1}{v} } \, dv$

quedando una integral inmediata, cuya primitiva es

$\int\limits {\frac{1}{v} } \, dv$ = ln|v| + c

como   $\sqrt{1 + u^{2} }$ = v - u    ⇒   $\sqrt{1 + u^{2} }$ + u = v   por lo tanto

$\int\limits{\frac{du}{\sqrt{1 + u^{2} } } } \,$ = ln| $\sqrt{1 + u^{2} }$ + u | + c

y también

$\int\limits {\frac{cos(t)}{\sqrt{1 + sen^{2}(t) } } } \, dt$ = ln| $\sqrt{1 + sen^{2}(t) }$ + sen(t) |  + c

por ultimo, mediante la regla de barrow se calcula el valor de la integral para el intervalo [0;π/2]

$\int\limits^\frac{\pi }{2} _0 {\frac{cos(t)}{\sqrt{1 + sen^{2}(t) } } } \, dt$ = ln| $\sqrt{1 + sen^{2}(\frac{\pi }{2} ) }$ + sen($\frac{\pi }{2}$) |  + c - ln| $\sqrt{1 + sen^{2}(0) }$ + sen(0) |  - c

                       =  ln| $\sqrt{1 + 1 }$ + 1 | - ln| $\sqrt{1 + 0}$ + 0 |

                       = ln| $\sqrt{2}$ + 1 | - ln| 1 |

                       = ln| $\sqrt{2}$ + 1 | - 0

                       = ln| $\sqrt{2}$ + 1 |

                       ≅ 0,88137......