24. Para medir la altura de una montaña, un topógrafo realiza dos observaciones de la cima con una distancia de 900 metros entre ellas, en línea recta con la montaña. Vea la Figura 3. El resultado de la primera observación es un ángulo de elevación de 47°, mientras que la segunda da un ángulo de elevación de 35°. Si el teodolito esta a 2 metros de altura, ¿Cuál es la altura h de la montaña?
Respuestas
La altura de la montaña: es de 1823,89 m
Explicación paso a paso:
Datos:
AB = 900 m
α =47°
β= 35°
y =h + 2
y: sea y la altura de la montaña
Para ambos triángulos que se forman aplicamos la función trigonométrica de tangente de sus respectivos ángulos
tan47 = h/x
h = xtan47°
h = 1,07x
Para el otro ángulo de elevación:
tan35 = h/(900+x)
h = 0,7(900+x)
Igualamos las expresiones:
1,07x = 0,7(900+x)
1,07x-0,7x =630
x= 1702,70m
La altura h:
h = 1702,70m*1,07
h = 1821,89 m
La altura de la montaña:
y = 1821,89m +2m
y = 1823,89 m
La altura "h" de la montaña que es medida por un topógrafo es:
1802 m
¿Qué es un triángulo?
Es un polígono de tres lados. Y sus ángulos internos sumados son 180°.
Un triángulo rectángulo tiene como característica que uno de sus ángulos internos es recto (90º).
¿Qué son las razones trigonométricas?
La relación que forman los catetos de un triángulo rectángulo con sus ángulos y las funciones trigonométricas.
- Sen(α) = Cat. Op/Hip
- Cos(α) = Cat. Ady/Hip
- Tan(α) = Cat. Op/Cat. Ady
¿Cuál es la altura h de la montaña?
Aplicar razones trigonométricas;
Tan(47º) = (y + 2)/x
Despejar x;
x = (y + 2)/Tan(47º)
Tan(35º) = (y + 2) /(900 + x)
Despejar x;
y + 2 = 9000 Tan(35º) + x Tan(35º)
x = [y + 2 - 900 Tan(35º)]/Tan(35º)
Igualar x;
(y + 2)/Tan(47º) = [y + 2 - 900 Tan(35º)]/Tan(35º)
Tan(35º)(y + 2) = Tan(47º) [y + 2 - 900 Tan(35º)]
y Tan(35º) + 2 Tan(35º) = y Tan(47º) + 2 Tan(47º) - 900 Tan(35º)Tan(47º)
y Tan(47º) - y Tan(35º) = 2 Tan(35º) - 2 Tan(47º) +900 Tan(35º)Tan(47º)
y(0.372) = 675.048
y = 1800 m
La altura de la montaña es:
h = 1800 + 2
h = 1802 m
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