Question

en una PA conocemos a5=22 y a9=38 calcula a=25

Answer 1

INTERPOLACION DE TÉRMINOS EN UNA PROGRESIÓN ARITMÉTICA (PA)

El título que he escrito es justamente lo que corresponde hacer en este ejercicio.

Tenemos los términos a₅=22  y   a₉=38   y para saber el término nº 25  (aunque has escrito a=25 pero he de suponer que querías poner  a₂₅)  que nos pide es totalmente imprescindible conocer la diferencia "d" entre términos consecutivos, algo que con los datos aportados no podemos conocer.

Pero hay una fórmula ya demostrada que nos permite saber esa diferencia a partir de conocer el valor de dos términos no consecutivos de la PA,  que llamaré "a" y "b",   separados por una cantidad de términos que llamaré "m"

En nuestro caso tenemos esto:

• Término "a" = a₅ = 22
• Término "b" = a₉ = 38
• Términos a intercalar = 3  (los términos 6º, 7º y 8º, ok?)

 La fórmula dice:  

$d=\dfrac{b-a}{m+1} \ ...\ sustituyendo\ ...\\ \\ \\ d=\dfrac{38-22}{3+1}=\dfrac{16}{4}=4$

Una vez que conocemos la diferencia "d" entre términos consecutivos, pasamos a usar la fórmula del término general de cualquier PA apoyándonos en uno de los términos conocidos, por ejemplo, a₅=22 y así calcular el valor del primer término a₁:

$a_n=a_1+(n-1)*d$

En este caso sabemos que  aₙ=a₅=22 así que despejaremos a₁ de la fórmula y obtendremos su valor:

$a_{1}\ =\ a_n-(n-1)*d\ =\ 22-(5-1)*4\ =\ 22-16\ =\ 6$

Conocido el valor de a₁, queremos conocer el valor del término a₂₅ es decir que en este caso,  n = 25 así que sustituyo datos conocidos en esa fórmula:

$a_{25} =6+(25-1)*4=6+96=102$

El valor del término nº 25 es 102

Saludos.