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Función
Notas
Si x = 0, estarías dividiendo entre 0, entonces x ≠ 0.
Si x = 3, estarías dividiendo entre 0, entonces x ≠ 3.
Si bien puedes simplificar esta función como f(x) = 2, cuando x = 1 la función original incluiría la división entre 0. Entonces x ≠ 1.
x = 1 y x = −1 harían 0 el denominador. De nuevo, esta función puede simplificarse como , pero cuando x = 1 o x = −1 la función original incluiría la división entre 0, entonces x ≠ 1 y x ≠ −1.
Este es un ejemplo cuando no hay restricciones en el dominio, aunque haya una variable en el denominador. Porque x2 ≥ 0, x2 + 1 nunca será 0. Lo menos que puede ser es 1, por lo que no hay peligro de una división entre 0.
Las raíces cuadradas de números negativos pueden ocurrir cuando la función tiene una variable dentro de un radical con una raíz par. Veamos estos ejemplos y observa que “la raíz cuadrada de un número negativo” ¡no necesariamente significa que el valor dentro del radical es negativo! Por ejemplo, si x = −4, entonces −x = −(−4) = 4, un número positivo.
Función
Restricciones al Dominio
Si x < 0, estarías sacando la raíz cuadrada de un número negativo, entonces x ≥ 0.
Si x < −10, estarías sacando la raíz cuadrada de un número negativo, entonces x ≥ −10.
¿Cuándo es negativa -x? Sólo cuando x es positiva. (Por ejemplo, si x = −3, entonces −x = 3. Si x = 1, entonces −x = −1.) Esto significa que x ≤ 0.
x2 – 1 debe ser positivo, x2 – 1 > 0.
Entonces x2 > 1. Esto sólo sucede cuando x es mayor que 1 o menor que −1: x ≤ −1 o x ≥ 1.
No hay restricciones en el dominio, aunque hay una variable dentro del radical. Pero x2 ≥ 0, x2 + 10 nunca será negativo. Lo menor que puede ser es 10, por lo que no hay peligro de sacar la raíz cuadrada de un número negativo.
Los dominios pueden restringirse si:
· la función es una función racional y el denominador es 0 para algún valor de x.
· la función es una función radical con un índice par (como una raíz cuadrada) y el radicando puede ser negativo para algún valor de x.
Rango
Recuerda, aquí el rango está restringido para todos los números reales. El rango también está determinado por la función y el dominio. Considera estas gráficas y piensa qué valores de y son posibles. y qué valores (si los hay) no lo son. En cada caso, las funciones se evalúan con números reales — esto es, x y f(x) sólo pueden ser números reales.
Función cuadrática, f(x) = x2 – 2x – 3
Explicación paso a paso: