Question

hallar la ecuación de la recta cuya distancia del origen es 5 y que pasa por el punto (1,7)

Answer 1

Veamos.

Considero una circunferencia de radio 5 con centro en el origen. 

Desde el punto se traza una recta que sea tangente a la circunferencia en algún punto. Se sabe que la tangente es perpendicular al radio.

La ecuación de la familia de rectas que pasan por el punto (1, 7) es:

y - 7 = m (x - 1).

Se realiza la intersección de la recta con la circunferencia. Hay tres posibilidades: la recta corta en dos puntos a la circunferencia, en uno o no la corta. 
Se impone la condición que la corte en un punto (recta tangente). Para ello el discriminante de la ecuación que resulta debe ser nulo.

La ecuación de la circunferencia es:

x² + y² = 5² = 25; 

Despejamos y de la ecuación de la recta: y = m (x - 1) + 7

y = m x - m + 7; lo reemplazamos en la otra ecuación:

x² + (m x - m + 7)² = 25; quitamos el paréntesis:

x² + (m x)² + m² + 49 - 2 m² x + 14 m x - 14 m - 25 = 0

Se arma la ecuación de segundo grado en x:

x² (1 + m²) + x (14 m - 2 m²) + m² - 14 m + 24 = 0

El discriminante es b² - 4 a c, que deberá ser cero.

(14 m - 2 m²)² - 4 (1 + m²) (m² - 14 m + 24) = 0

Quitando todos los paréntesis resulta:

96 m² + 56 m - 96 = 0; o bien, dividiendo por 8:

12 m² - 7 m - 12 = 0

Es una ecuación de segundo grado en m que, al ser el término independiente negativo) dará dos soluciones reales. Lo que significa que hay dos rectas que cumplen con el enunciado.

Las soluciones son m = 3/4; m = - 4/3

1) y - 7 = 3/4 (x - 1)

2) y - 7 = -. 4/3 (x - 1)

Adjunto gráfica con las soluciones.

Saludos Herminio