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Respuesta:
∫ [(tg(x) + 1)/cos^2(x)] dx = ((tg(x) + 1)²/2) + C o tambien
∫ [(tg(x) + 1)/cos^2(x)] dx = ((1 + sen(2x))/(1 + cos(2x))) + C
Explicación paso a paso:
∫ [(tg(x) + 1)/cos^2(x)] dx
se resuelve por el método; cambio de variable
si u = tg(x) + 1 ⇒ du/dx = 1/cos^2(x) ⇒ du = dx/cos^2(x)
du/dx = derivada de la función u(x) con respecto a x
y recordar que la derivada de una constante es igual a cero, es este caso esa constante es 1 y la derivada de tg(x) es 1/cos^2(x)
entonces
∫ [(tg(x) + 1)/cos^2(x)] dx = ∫ (tg(x) + 1).(dx/cos^2(x))
= ∫ u du
se integra obteniendo así
∫ [(tg(x) + 1)/cos^2(x)] dx = (u²/2) + C
como u = tg(x) + 1
∫ [(tg(x) + 1)/cos^2(x)] dx = ((tg(x) + 1)²/2) + C
al tratarse de una identidad trigonométrica se puede modelar el resultado de varias maneras como por ej.
(tg(x) + 1)² = tg²(x) + 2tg(x) + 1
como tg²(x) + 1 = sec²(x) se tiene
(tg(x) + 1)² = tg²(x) + 2tg(x) + 1 = (tg²(x) + 1) + 2tg(x) = sec²(x) + 2tg(x)
= (1/cos^2(x)) + (2sen(x)/cos(x)) = (1 + 2sen(x)cos(x))/cos^2(x)
la identidad 2sen(x)cos(x) = sen(2x) por lo tanto
(tg(x) + 1)² = (1 + sen(2x))/cos^2(x)
ahora, si se multiplica ambos miembros por 1/2 se tiene
(tg(x) + 1)²/2 = (1 + sen(2x))/2.cos^2(x)
se deduce que 2.cos^2(x) = cos(2x) - 1 de la sig. identidad
cos(2x) = cos^2(x) - sen^2(x)
si de la identidad trigonométrica fundamental se despeja sen^2(x)
cos^2(x) + sen^2(x) = 1 ⇒ sen^2(x) = 1 - cos^2(x)
y se remplaza en la anterior se llega a la sig. conclusión
cos(2x) = cos^2(x) - (1 - cos^2(x)) = 2cos^2(x) - 1
cos(2x) + 1 = 2cos^2(x)
así otra forma de expresar el resultado de la integral seria
∫ [(tg(x) + 1)/cos^2(x)] dx = ((1 + sen(2x))/(1 + cos(2x))) + C