Question

integral de tan x +1/ cos^2 × dx
​

Answer 1

Respuesta:

∫ [(tg(x) + 1)/cos^2(x)]  dx  =  ((tg(x) + 1)²/2) + C      o tambien

∫ [(tg(x) + 1)/cos^2(x)]  dx  =  ((1 + sen(2x))/(1 + cos(2x))) + C

Explicación paso a paso:

∫ [(tg(x) + 1)/cos^2(x)]  dx

se resuelve por el método; cambio de variable

si   u = tg(x) + 1    ⇒   du/dx = 1/cos^2(x)    ⇒  du = dx/cos^2(x)

du/dx  = derivada de la función u(x) con respecto a x

y recordar que la derivada de una constante es igual a cero, es este caso esa constante es 1 y la derivada de tg(x) es 1/cos^2(x)

entonces

∫ [(tg(x) + 1)/cos^2(x)]  dx  = ∫ (tg(x) + 1).(dx/cos^2(x))

                                        = ∫ u du

se integra obteniendo así

∫ [(tg(x) + 1)/cos^2(x)]  dx  = (u²/2) + C

como u = tg(x) + 1

∫ [(tg(x) + 1)/cos^2(x)]  dx  = ((tg(x) + 1)²/2) + C

al tratarse de una identidad trigonométrica se puede modelar el resultado de varias maneras como por ej.

(tg(x) + 1)² = tg²(x) + 2tg(x) + 1

como  tg²(x) + 1 = sec²(x) se tiene

(tg(x) + 1)² = tg²(x) + 2tg(x) + 1  = (tg²(x) + 1) + 2tg(x) = sec²(x) + 2tg(x)

= (1/cos^2(x)) + (2sen(x)/cos(x)) = (1 + 2sen(x)cos(x))/cos^2(x)

la identidad  2sen(x)cos(x) = sen(2x)  por lo tanto

(tg(x) + 1)² = (1 + sen(2x))/cos^2(x)

ahora, si se multiplica ambos miembros por 1/2 se tiene

(tg(x) + 1)²/2 = (1 + sen(2x))/2.cos^2(x)

se deduce que 2.cos^2(x) = cos(2x) - 1 de la sig. identidad

cos(2x) = cos^2(x) - sen^2(x)

si de la identidad trigonométrica fundamental se despeja sen^2(x)

cos^2(x) + sen^2(x) = 1    ⇒  sen^2(x) = 1 - cos^2(x)

y se remplaza en la anterior se llega a la sig. conclusión

cos(2x) = cos^2(x) - (1 - cos^2(x)) = 2cos^2(x) - 1  

cos(2x) + 1 = 2cos^2(x)

así otra forma de expresar el resultado de la integral seria

∫ [(tg(x) + 1)/cos^2(x)]  dx  = ((1 + sen(2x))/(1 + cos(2x))) + C