Una nave espacial tarda aproximadamente 5 días en llegar a la Luna. ¿Cuál es la velocidad en unidades del sistema MKS con la cual debe viajar para llegar a marte desde la tierra? (1mi=1,609Km)
983,88 m/s
893,88 m/s
489,88 m/s
948,88 m/s
Respuestas
Respuesta:
El propósito de este programa es el de enviar una nave espacial desde la Tierra a Marte y regresar de nuevo a la Tierra siguiendo una trayectoria semielíptica denominada órbita de transferencia de Hohmann. Se supone que las órbitas de la Tierra y Marte son circulares y que las únicas fuerzas sobre la nave espacial son las debidas a la acción del Sol, despreciándose las influencias mutuas entre planetas y de estos con la nave.
Primero, tenemos que realizar el viaje de ida desde la Tierra a Marte. Observaremos las magnitudes de las velocidades angulares de ambos planetas. ¿Cuál ha de ser la distancia angular entre la Tierra y Marte en el momento del lanzamiento para que la nave llegue a Marte?. ¿Qué planeta ha de ir por delante?.Una vez que se haya alcanzado el planeta Marte, nos formularemos las mismas preguntas para realizar el viaje de regreso a la Tierra.
Movimiento de los planetas.
Supondremos que los planetas, Marte y la Tierra describen órbitas circulares alrededor del Sol
Aplicando la ecuación de la dinámica del movimiento circular uniforme,
GMmr2=mv2r v=GMr−−−−√
Donde M=1.98·1030 kg es la masa del Sol, G=6.67·10-11 Nm2/kg2, y r es el radio de la trayectoria circular que describe el planeta.
Para la Tierra rt=1.49·1011 m, por lo que vt=29772.6 m/s
Para Marte rm=2.28·1011 m, por lo que vm=24067.3 m/s
Órbita de transferencia de Hohmann
Supondremos despreciables la influencia de los planetas sobre el movimiento de la nave espacial en su trayecto de la Tierra a Marte. La nave describirá una órbita elíptica uno de cuyos focos está en el Sol, su perihelio será el radio de la Tierra r1=1.49·1011 m y su afelio el radio de Marte r2=2.28·1011 m.
Conocidos r1 =rt y r2 =rm podemos determinar la velocidad de la nave espacial en el perihelio v1 y en el afelio v2 aplicando las propiedades de la fuerza de atracción.
La fuerza de atracción entre la nave y el Sol es central, el momento angular permanece constante.
mr1·v1·sin90º=m·r2·v2·sin90º
La fuerza de atracción es conservativa, la energía total permanece constante
12mv21−GMmr1=12mv22−GMmr2
Resolvemos el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas despejando v1 y v2
v1=2GMr2r1(r1+r2)−−−−−−−−−√ v2=2GMr1r2(r1+r2)−−−−−−−−−√
Datos: r1=1.49·1011 m, y r2=2.28·1011 m,
Incógnitas: v1=32742.7 m/s y v2=21397.6 m/s
La órbita elíptica que describe la nave espacial tiene un semieje mayor a=(r1+r2)=1.885·1011 m y una excentricidad ε=r2−r1r2+r1=0.21
Explicación: