Respuestas
Respuesta:
∫ x³.cos(x) dx = x³.sen(x) + 3.x².cos(x) - 6x.sen(x) - 6cos(x) + C
Explicación paso a paso:
"formula" de integración por partes
∫u dv = u.v - ∫v du
que es cada cosa:
u y v son funciones en este caso de x, es decir u(x) e v(x), por otra parte dv y du representan sus correspondientes derivadas. Para aplicar la formula se tiene que determinar quien va a ser u y dv en el integrando
como el integrando es x³.cos(x) se va a nombrar a x³ como u y a cos(x) como dv por lo tanto, se tiene
∫ x³.cos(x) dx = x³.sen(x) - ∫ 3x².sen(x) dx
donde el sen(x) se obtuvo al integrar dv, es decir
como dv/dx = cos(x) ⇒ dv = cos(x) dx se integra
∫ dv = ∫ cos(x) dx ⇒ v = sen(x)
y 3x² es la derivada de u = x³
ahora, se procede a resolver la integral del segundo termino aplicando nuevamente la formula y asciendo el mismo nombramiento para llegar a una integral que contenga únicamente como integrando una función trigonométrica, es decir para resolver este tipo de integrales se debe ir disminuyendo el exponente de x mediante la derivación.
∫ x³.cos(x) dx = x³.sen(x) - 3.∫ x².sen(x) dx
∫ x³.cos(x) dx = x³.sen(x) - 3.[- x².cos(x) + ∫ 2x.cos(x) dx]
∫ x³.cos(x) dx = x³.sen(x) + 3.x².cos(x) - 6∫ x.cos(x) dx
C.A.
si dv/dx = sen(x) ⇒ dv = sen(x) dx ⇒ ∫dv = ∫ sen(x) dx
v = -cos(x)
por ultimo
∫ x³.cos(x) dx = x³.sen(x) + 3.x².cos(x) - 6[ x.sen(x) - ∫ sen(x) dx]
∫ x³.cos(x) dx = x³.sen(x) + 3.x².cos(x) - 6x.sen(x) + 6∫ sen(x) dx
como ∫ sen(x) dx = -cos(x) + c se tiene
∫ x³.cos(x) dx = x³.sen(x) + 3.x².cos(x) - 6x.sen(x) - 6cos(x) + 6c
conclusión
∫ x³.cos(x) dx = x³.sen(x) + 3.x².cos(x) - 6x.sen(x) - 6cos(x) + C
comprobación
para comprobar el resultado obtenido se debe derivar la supuesta solución a la integral, si esta derivada es igual al integrando la solución es correcta
d(x³.sen(x) + 3.x².cos(x) - 6x.sen(x) - 6cos(x) + C)/dx = x³.cos(x)
3x².sen(x) + x³.cos(x) + 6x.cos(x) - 3x².sen(x) - 6sen(x) - 6x.cos(x) + 6sen(x)
se asocia para mayor apreciación de la simplificación
x³.cos(x) + (3x².sen(x) - 3x².sen(x)) + (6x.cos(x) - 6x.cos(x)) + (6sen(x)- 6sen(x))
x³.cos(x) + 0 + 0 + 0 = x³.cos(x)