Question

7. De entre 400 familias con 4 hijos cada una ¿ Qué porcentaje es de esperar que tengan a) 2 chicos y 1 chica b) al menos 3 chicos, C) ninguna chica y d ) a lo sumo 2 chicas? Se supone igual probabilidad para chicos y chicas.

Answer 1

Se consideran dos distribuciones binomial: una que determina la probabilidad de lo que se desea y otra para calcular el valor esperado de familias que cumplen con la características (de las 400 familias)

Una distribución binomial es una distribución de probabilidad discreta que conociendo la probabilidad de éxito de un evento se quiere determinar que en n experimento tengamos x éxitos, la función de probabilidad es:

P(X = x) = n!/((n-x)!*x!)*pˣ*(1-p)ⁿ⁻ˣ

El valor esperado de la binomial es:

E(X) = n*p

Luego tenemos que: cada una de las preguntas se distribuye binomial

2 chicos y 1 chica: la probabilidad de que en una familia esten dos chicos y una chica de por si una binomial, un exito seria una chica, entonces p = 0.5, n = 4, y queremos saber la probabilidad de que X sea mayor o igual que 1 y menor o igual que 2:

P(x = 1) + P(x = 2) = 4!/((4-1)!*1!)*0.5*(1-0.5)³ + 4!/((4-2)!*2!)*0.5²*(1-0.5)² = 0.25 + 0.375 = 0.625

Entonces el valor esperado de 400 familia es:

400*0.625 = 250 familias

Al menos tres chicos: entonces veamos la probabilidad de que sean al menos 2 chicos, considerando un exito que sea una chica, entonces es la probabilidad de que x sea 0 más que X sea 1, p = 0.4:

P(x = 1) + P(x = 0) = 4!/((4-1)!*1!)*0.5*(1-0.5)³ + 4!/((4-0)!*0!)*0.5⁰*(1-0.5)⁴ = 0.25 + 0.0625 = 0.3125

Entonces el valor esperado de las 400 familias que sea al menos 3 chicos es:

400*0.3125 = 125 familias

Ninguna chica: entonces es la probabilidad de que X sea 0

P(x = 0) = 4!/((4-0)!*0!)*0.5⁰*(1-0.5)⁴ = 0.0625

De las 400 familias: se speran que no tengna ninguna chica:

400*0.0625 = 25

A lo sumo 2 chicas: entonces es máximo 2 chicas, lo que implica que sea 0, 1 y 2  

P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) = 4!/((4-0)!*0!)*0.5⁰*(1-0.5)⁴ + 4!/((4-1)!*1!)*0.5*(1-0.5)³ + 4!/((4-2)!*2!)*0.5²*(1-0.5)² = 0.0625 + 0.25 + 0.375 = 0.6875

De las 400 familias se espera:

400*0.6875 = 275