Respuestas
Ejemplo 1
Factorizar (b2x) + (b2y).
Solución
Primero se encuentra el factor común de cada término, que en este caso es b2, y luego se dividen los términos entre el factor común de la siguiente manera:
(b2x) / b2 = x
(b2y) / b2 = y.
Se expresa la factorización, multiplicando el factor común por los términos resultantes:
(b2x) + (b2y) = b2 (x + y).
Ejemplo 2
Factorizar (2a2b3) + (3ab2).
Solución
En este caso tenemos dos factores que se repiten en cada término que son «a» y «b», y que se encuentran elevados a una potencia. Para factorizarlos primero se descomponen los dos términos en su forma larga:
2*a*a*b*b*b + 3a*b*b
Puede observarse que el factor “a” se repite una sola vez en el segundo término, y el factor “b” se repite dos veces en este; así que en el primer término solo queda el 2, un factor “a” y uno “b”; mientras que en el segundo término solo queda el 3.
Por lo tanto, se escribe las veces que “a” y “b” se repiten y se multiplica por los factores que sobran de cada término, como se observa en la imagen:
Factorización
Factorización por agrupamiento
Como no en todos los casos el máximo común divisor de un polinomio se encuentra claramente expresado, es necesario hacer otros pasos para poder reescribir el polinomio y así factorizar.
Uno de esos pasos consiste en agrupar los términos del polinomio en varios grupos, para luego usar el método del factor común.
Ejemplo 1
Factorizar ac + bc + ad + bd.
Solución
Se tienen 4 factores donde dos son comunes: en el primer término es «c» y en el segundo es «d». De esa manera se agrupan y separan los dos términos:
(ac + bc) + (ad + bd).
Ahora es posible aplicar el método del factor común, dividiendo cada término por su factor común y luego multiplicando ese factor común por los términos resultantes, así:
(ac + bc) / c = a + b
(ad + bd) / d = a + b
c(a + b) + d(a + b).
Ahora se obtiene un binomio que es común para ambos términos. Para factorizarlo se multiplica por los factores restantes; de esa manera se tiene que:
ac + bc + ad + bd = (c + d) * (a + b).
Factorización por inspección
Este método se usa para factorizar polinomios cuadráticos, también llamados trinomios; es decir, aquellos que se estructuran como ax2 ± bx + c, donde el valor de “a” es diferente de 1. Este método también se usa cuando el trinomio tiene la forma x2 ± bx + c y el valor del “a” = 1.
Ejemplo 1
Factorizar x2 + 5x + 6.
Solución
Se tiene un trinomio cuadrático de la forma x2 ± bx + c. Para factorizarlo primero se deben encontrar dos números que, al multiplicarse, den como resultado el valor de «c» (es decir, 6) y que su suma sea igual al coeficiente «b», que es 5. Esos números son 2 y 3:
2 * 3 = 6
2 + 3 = 5.
De esa forma, la expresión se simplifica así:
(x2 + 2x) + (3x + 6)
Se factoriza cada término:
– Para (x2 + 2x) se saca el término común: x (x + 2)
– Para (3x + 6) = 3(x + 2)
Así, la expresión queda:
x(x +2) + 3(x +2).
Como se tiene un binomio en común, para reducir la expresión se multiplica este por los términos sobrantes y se tiene que:
x2 + 5x + 6 = (x + 2) * (x + 3).
Ejemplo 2
Factorizar 4a2 + 12a +9=0.
Solución
Se tiene un trinomio cuadrático de la forma ax2 ± bx + c y para factorizarlo se multiplica toda la expresión por el coeficiente de x2; en este caso, 4.
4a2 + 12a +9 = 0
4a2 (4) + 12a(4) + 9(4)=0 (4)
16 a2 + 12a(4) + 36 = 0
42 a2 + 12a(4) + 36 = 0
Ahora se deben hallar dos números que, cuando se multipliquen entre sí, den como resultado el valor de “c” (que es 36) y que al sumarse den como resultado el coeficiente del término “a”, que es 6.
6 * 6 = 36
6 + 6 = 12.
De esa manera se rescribe la expresión, teniendo en cuenta de que 42 a2 = 4a * 4a. Por lo tanto, se aplica la propiedad distributiva para cada término:
(4a + 6) * (4a + 6).
Por último, se divide la expresión por el coeficiente de a2; es decir, 4:
(4a + 6) * (4a + 6) / 4 = ((4a + 6)/ 2) * ((4a + 6)/ 2).
La expresión queda de la siguiente manera:
4a2 + 12a +9 = (2a +3) * (2a + 3).
Factorización con productos notables
Existen casos en los que, para factorizar completamente los polinomios con los métodos anteriores, se convierte en un proceso muy largo.
Es por eso que una expresión puede ser desarrollada con las fórmulas de los productos notables y así el proceso se hace más simple. Entre los productos notables más usados están:
– Diferencia de dos cuadrados: (a2 – b2) = (a – b) * (a + b)
– Cuadrado perfecto de una suma: a2 + 2ab +b2 = (a + b)2
– Cuadrado perfecto de una diferencia: a2 – 2ab + b2 = (a – b)2
– Diferencia de dos cubos: a3 – b3 = (a-b)*(a2 + ab + b2)
– Suma de dos cubos: a3 – b3 = (a + b) * (a2 – ab + b2)
Ejemplo 1
Factorizar (52 – x2)
Solución
En este caso se tiene una diferencia de dos cuadrados; por lo tanto, se aplica la fórmula del producto notable:
(a2 – b2) = (a – b) * (a + b)
(52 – x2) = (5 – x) * (5 + x)
Ejemplo 2
Factorizar 16x2 + 40x + 252
Solución
En este caso se tiene un cuadrado perfecto de una suma, porque se pueden identificar dos
Respuesta:
Explicación paso a paso: