Question

¿Cuántos números de 4 cifra se pueden formar con los dígitos 1, 2, 4, 6, 7, y 8; de tal manera que sean menores de 5000 y no permitiéndose repeticiones de los dígitos?

Answer 1

COMBINATORIA.  VARIACIONES SIN REPETICIÓN.

Ese modelo combinatorio de las variaciones es el que hay que usar en este ejercicio y no "combinaciones".

La diferencia entre esos modelos estriba en que en las combinaciones no importa el orden en que coloquemos los elementos que hayamos escogido para distinguir entre una manera y otra.

Un ejemplo claro lo tienes en el ejercicio anterior que te he resuelto y que pude consultar cualquiera si entra a tu perfil.

Te lo aclaro:

Si de 5 libros que llamaré A, B, C, D, E, que tienes, hemos de escoger, por ejemplo, los libros A y B, igual dará que digamos que hemos escogido los libros A y B que los libros B y A, ok? porque son LOS MISMOS elementos, por tanto eso no influye a la hora de contar las maneras de escogerlos y de ahí que allí he usado el modelo llamado "combinaciones".

Sin embargo, en este ejercicio estamos trabajando con dígitos donde sabemos que, si tenemos los dígitos 1, 2, 4, 6, 7, y 8, y escogemos el 1 y el 2, colocados en ese orden forman el nº 12 pero si invertimos el orden obtenemos el nº 21, ok? Son dos números distintos. Por lo tanto aquí sí hay que considerar el orden en que se colocan los elementos que hemos escogido en cada forma y por esa razón no podemos usar el modelo llamado "combinaciones" sino que hemos de recurrir al de variaciones que es el adecuado para ese cálculo.

Sigamos analizando:

Dice que no se permiten repeticiones por tanto no nos valdrá repetir dígitos y no se podrá, por ejemplo, usar el número 2222 ó bien el 2334, ó bien el 4788, ok? Tenemos pues bastante acotado el modelo a utilizar que se llamará:  VARIACIONES SIN REPETICIÓN.

Vamos al análisis de la última condición a tener en cuenta y es que dice que los números a formar han de ser MENORES de 5000 y eso ya nos ha de hacer pensar en que ningún número podrá llevar las cifras 6 ó 7 u 8 en el primer lugar de la izquierda ya que nos saldrían números mayores a esa cantidad.

Aclarado todo eso vemos que tenemos 6 dígitos a combinar de 4 en 4 pero como hemos de fijar el dígito de los millares (el primero de la izquierda) con uno de estos tres: 1, 2, 4, para que el resultado sea menor de 5000, haremos esto:

Fijamos en la posición de las unidades de millar el dígito 1 y variamos los otros 5 tomados de 3 en 3 para que al pegar ese dígito a cada resultado nos salga un número que cumpla todas las condiciones.

Así pues tenemos:

VARIACIONES SIN REPETICIÓN DE 5 ELEMENTOS (m)

TOMADOS DE 3 EN 3 (n)

La fórmula dice:   $V_m^n=\dfrac{m!}{(m-n)!}$

Sustituyo datos y resuelvo:  $V_5^3=\dfrac{5!}{(5-3)!} =\dfrac{5*4*3*2!}{2!} =60\ n\'umeros$

Y ahora tendría que hacer lo mismo fijando en las unidades de millar el 2 y luego el 4, es decir que me saldría ese mismo resultado dos veces más así que para llegar a la solución tan solo he de triplicar el resultado anterior y tendré la respuesta.

60 × 3 = 180 números de 4 cifras con los 6 dígitos mostrados, sin repetir dígitos y menores de 5000

PD: Si te quedó alguna duda, me la escribes ahí abajo en Comentarios, ok?

Saludos.