Graficar función a trozos encontrando los valores de (a) y/o (b) que hace que la función sea continua.
(Geogebra). Demostrar matemáticamente que la función queda continua con los valores hallados anteriormente.
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Respuestas
La primera función f(x) es continua en x = -2 y x = 1 si se cumple que los valores de a y b son: a = 1/3 y b = 2/3
La segunda función f(x) es continua en x = 2 si se cumple que el valor de a es: a = -1/6
Explicación:
Una función f(x) es continua en un valor dado x = α si se cumple que:
A su vez, para que el límite dado antes exista deben existir y ser iguales los límites laterales.
Primera función:
Ya que f(-2) y f(1) están definidas, vamos a plantear los límites laterales en esos puntos y los igualamos a los valores de la función. De esta forma se obtiene, por cada límite, una ecuación lineal que nos permite hallar los valores de a y b.
VALOR x = 1
1.- f(-2) = 3a(-2) + b
2.-
3.- Los límites laterales son iguales, para que el límite exista:
VALOR x = 1
1.- f(1) = 3a(1) + b
2.-
3.- Los límites laterales son iguales, para que el límite exista:
Con las ecuaciones en el paso 3 de cada valor construimos un sistema:
8a - b = 2
3a + 3b = 3
Aplicando el método de reducción, multiplicamos la primera ecuación por (3) y sumamos, obteniendo:
27a = 9 ⇒ a = 1/3 ⇒ b = 2/3
Al sustituir estos valores en el paso 2 del valor x = -2 se obtiene que el límite vale -4/3, lo que coincide con el valor de la función en el punto.
Al sustituir estos valores en el paso 2 del valor x = 1 se obtiene que el límite vale 5/3, lo que coincide con el valor de la función en el punto.
La primera función f(x) es continua en x = -2 y x = 1 si se cumple que los valores de a y b son: a = 1/3 y b = 2/3
Segunda función:
Ya que f(2) está definida, vamos a plantear los límites laterales en ese punto y los igualamos al valor de la función. De esta forma se obtiene, por cada límite, una ecuación lineal que nos permite hallar el valor de a.
1.- f(2) = a(2)3 = 8a
2.-
3.- Los límites laterales son iguales, para que el límite exista:
4.- El límite existe y es igual a la función evaluada en el punto:
La segunda función f(x) es continua en x = 2 si se cumple que el valor de a es: a = -1/6
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