Question

Ecuaciones de Cauchy - Euler 1/3 x^2 y^(´´)-xy^´+13/3 y=4+3x

Answer 1

La solución a la ecuación diferencial es y = c1 x^(2 + 3i) + c2 * x^(2 - 3i) + 9x/10 + 12/13

Para poder resolver una ecuación diferencial de Euler-Cauchy, simplemente debemos saber que estas son de la forma

$ax^2 y'' + bx y' + cy = 0$

Donde esta tiene la solución

$y = c_1 x^{m_1} + c_2 x^{m_2}$

Y m1, m2 son soluciones de la ecuación cuadrática

$am^2 + (b - a)m + c = 0$

En nuestro caso, tenemos que a = 1/3, b = -1 y c = 13/3, por lo que la ecuación cuadrática queda

$(1/3)m^2 - (4/3)m + 13/3 = 0\\\\m^2 - 4m + 13 = 0$

Que tiene soluciones

$m = 2 \pm 3i\\\\m_1 = 2 + 3i\\\\m_2 = 2 - 3i$

Por lo que se tendría

$y = c_1 x^{2 + \sqrt{17}} + c_2x^{2 - \sqrt{17}}$

Ahora bien, esta es la solución para la ecuación homogénea, pero esta no es homogénea, por lo que se tiene que usar el método de coeficientes indeterminados para hallar la solución no homogénea. Es decir, sea

$y_h = ax + b$

Una solución de la ecuación homogénea, por lo que se tiene

$\frac{13}{3}y_h = \frac{13a}{3}x + \frac{13b}{3}\\\\-xy_h' = -x(a) = - ax\\y_h'' = 0$

Por lo que se tiene

$\frac{1}{3}x^2 y_h'' - x y_h' + \frac{13}{3}y_h = -ax + \frac{13}{3}(ax) + \frac{13}{3}b = \frac{10a}{3}x + \frac{13b}{3} = 3x + 4$

Si se igualan estos polinomios, tenemos que

10a/3 = 3 ⇒ a = 9/10

13b/3 = 4 ⇒ b = 12/13

Por lo que la solución a la ecuación diferencial no homogénea es

$y_t = y + y_h = c_1 x^{2 + 3i} + c_2 x^{2 - 3i} + \frac{9}{10}x + \frac{12}{13}$