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funciones, calculo

Answer 1

Cuando el tiempo tiende a infinito la población es de 20 y la máxima se alcanza cuando es t=2,2 y es aproximadamente 23,5 millones de habitantes.

Explicación paso a paso:

La función tiene dos variables, P y t. 't' es la denominada variable independiente o variable de entrada. Para este caso particular representaría el tiempo. P es la variable dependiente o variable de salida. En este caso particular representa la población.

Si queremos dibujar la función vamos a ver si tiene asíntotas verticales, las que se asocian con puntos donde la función no está definida. La función no está definida en los puntos donde se anula el denominador:

$2+(t-1)^2=0\\t-1=\sqrt{-2}$

Vemos claramente que no existen valores de t para los que la función es indefinida, por lo que no hay asíntotas verticales.

Si los límites en el infinito existen, la función tiene asíntotas horizontales:

$\lim_{t \to +\infty} \frac{10(t-1)}{2+(t-1)^2}+20= \lim_{t \to +\infty} \frac{\frac{10(t-1)}{t-1}}{\frac{2+(t-1)^2}{t-1}}+20=\lim_{t \to +\infty} \frac{10}{\frac{2}{t-1}+t-1}+20=20\\\\\lim_{t \to -\infty} \frac{10}{\frac{2}{t-1}+t-1}+20=20$

Tiene una asíntota horizontal en P=0, por ende no hay asíntotas oblícuas.

Hallamos la ordenada al origen y las raíces:

$\frac{10(t-1)}{2+(t-1)^2}+20=0\\\\10t-10=-20(2+(t-1)^2)\\10t-10=-20(2+t^2-2t+2)=-80-20t^2+40t\\\\20t^2-30t+70=0\\2t^2-3t+7=0\\\\t=\frac{3\ñ\sqrt{(-3)^2-4.2.7}}{2.2}$

No hay raíces, la ordenada al origen es:

$P(0)=\frac{10(0-1)}{2+(0-1)^2}+20=\frac{50}{3}$

Las raíces de la derivada nos dan los máximos y mínimos:

$P'(t)=\frac{10(2+(t-1)^2)-10(t-1)2(t-1)}{(2+(t-1)^2)^2}=0\\20+10(t-1)^2-20(t-1)^2=0\\20=10(t-1)^2=>10t^2-20t-10=0\\t^2-2t-1=0\\\\t=\frac{2\ñ\sqrt{(-2)^2-2.1(-1)}}{2.1}=\frac{2\ñ\sqrt{6}}{2}\\\\t\simeq2,2\\t\simeq-0,22$

Con esto se puede trazar un gráfico aproximado de la función, y en efecto, el gráfico está en la imagen adjunta.

Mirando el gráfico podemos hallar la población máxima que es para t=2,2, siendo aproximadamente 23. La condición de máximo es f'(xm)=0; f''(xm)<0. Hallamos la derivada segunda:

$P'(t)=\frac{10t^2-20t-10}{(2+(t-1)^2)^2}\\\\P''(t)=\frac{(20t-20)(2+(t-1)^2)^2-(10t^2-20t-10)(4(2+(t-1)^2))}{(2+(t-1)^2)^4}\\\\P''(t)=\frac{(20t-20)-4(10t^2-20t-10)}{(2+(t-1)^2)^4}(2+(t-1)^2)^2$

Donde vemos que claramente la derivada segunda es negativa para t=2,2. Si reemplazamos este valor en la función P(t) y operamos hallaremos el valor exacto de la máxima población.

$P(2,2)=20+\frac{10(2,2-1)}{2+(2,2-1)^2}\\P(2,2)=23,5$

El límite cuando t tiende a infinito fue calculado en un punto anterior y es igual a 20. Este valor significa el valor aproximado que tomará la población al cabo de mucho tiempo.