Question

Un satélite gira en torno de la tierra en una órbita elíptica con el centro de la tierra en uno de sus focos. Tiene una altitud mínima de 200 millas y una altitud máxima de 1000 millas sobre la superficie de la tierra. Si el radio de la tierra es de 4000 millas, ¿cuál es la ecuación de su órbita?
Urge!

Answer 1

La ecuación de la trayectoria del satélite es $\frac{x^2}{(4200mi)^2}+\frac{y^2}{(5000mi)^2}=1$

Explicación paso a paso:

Si la órbita del satélite es elíptica, significa que la misma tendrá la siguiente ecuación canónica:

$\frac{(x-x_0)^2}{a^2}+\frac{(y-y_0)^2}{b^2}=1$

Donde 'a' y 'b' son los semiejes mayor y menor de la órbita del satélite. Si el radio de la Tierra es de 4000 millas y la altitud varía entre 200 millas y 1000 millas sobre la superficie, los semiejes son:

a=4000mi+200mi=4200mi

b=4000mi+1000mi=5000mi

Las constantes y0 y x0 son las coordenadas del centro de la elipse. Si suponemos que el centro de la órbita (que no es el centro de la Tierra que está en uno de los focos) está en el origen, la ecuación queda:

$\frac{x^2}{(4200mi)^2}+\frac{y^2}{(5000mi)^2}=1$

Answer 2

Respuesta:

$\frac{x^{2} }{4600^{2} } +\frac{y^{2} }{({\sqrt{2100}*{10}^{2}})^{2} } =1$

Explicación paso a paso:

si el centro de la tierra esta en uno de los focos de la elipse, entonces tenemos que la distancia desde el foco de la elipse hasta el vertice mas cercano de la elipse es el radio de la tierra(r=4000 millas) mas 200 millas de la altura minima desde el satelite hasta la superfice terrestre. Esto es  es igual a 4200 millas. Por otro lado tenemos la distancia desde el foco hasta el extremo mas lejano de la  elipse que es igual al radio de la tierra mas 1000 millas que es la altura maxima del satelite. Esto es igual a 5000 millas.

ahora no conocemos el centro de la elipse pero se sabe que la distancia desde el foco hasta un vertice  es de 4200 millas. Por lo tanto la distancia del segundo foco al otro vertice debe ser la misma distancia. En concecuencia la distancia entre el primer foco(centro de la tierra) y el segundo foco es de 5000 - 4200= 800 millas. En seguida podemos deducir que el centro de la elipce esta en el punto medio de los 2 focos. Es desir 800/2=400 millas. Esto significa que cada foco se encuentra a 400 millas del centro de la elipse que estaria en el origen (0,0) del plano.

ahora si sabemos que la distancia del centro de la elipse al foco es C entonces  C=400 millas.

Tambien tenemos que "a" es igual a la distancia desde el centro de la elipse (0,0) hasta uno de los vertices del eje mayor, es dicir :

a = C + 4200= 400 + 4200 = 4600 millas

hora "b" es Igual a:

$b=\sqrt{a^{2} -c^{2} }$

reemplaszando:

$b=\sqrt{4600 ^{2} -400^{2} }= \sqrt{2100} *10^{2}$

ahora tenemos en cuenta que la ecuacion general de la elipse con centro en el origen es :

$\frac{x^{2} }{a^{2} } +\frac{y^{2} }{b^{2} } =1$

por lo tanto si remplasamos a y b en la ecuacion general nos queda:

$\frac{x^{2} }{4600^{2} } +\frac{y^{2} }{({\sqrt{2100}*{10}^{2}})^{2} } =1$