Question

Resuelva el problema de valor inicial dado. Es un ejercicio de Calculo Diferenicial

y^'''-2y^''+y^'=2-24e^x+40e^5x, y(0)=1/2,y^' (0)=5/2,y^'' (0)=-9/2

Answer 1

Respuesta:

y= 11- 11e^x+ 9xe^x-12x^2e^x+ (½)e^(5x)+ 2x

Explicación paso a paso:

y^'''-2y^''+y^'=2-24e^x+40e^5x

Ecuación Auxiliar

m^3-2m^2+m=0

m(m-1)(m-1)=0

m=0;1

yg=yc + yp

Donde  

yc=C1e^( 0)x+ C2e^( 1)x+ C3xe^( 1)x

yc=C1+ C2e^x+ C3xe^x

yp=Ax^2e^x+ Be^(5x)+ C x

yp^'=  A e^x x^2 + 2 A e^x x + 5 B e^(5 x) + C

yp^''=  e^x (A x^2 + 4 A x + 2 A + 25 B e^(4 x))

yp^'''= A e^x x^2 + 6 A e^x x + 6 A e^x + 125 B e^(5 x)

en :

y^'''-2y^''+y^'= A e^x x^2 + 6 A e^x x + 6 A e^x + 125 B e^(5 x)-2 e^x (A x^2 + 4 A x + 2 A + 25 B e^(4 x))+ A e^x x^2 + 2 A e^x x + 5 B e^(5 x) + C

 

40e^5x-24e^x+2=2Ae^x +80Be^5x+C

A=-12

B=1/2

C=2

yc=C1+ C2e^x+ C3xe^x

yp=-12x^2e^x+ (½)e^(5x)+ 2x

Yg= C1+ C2e^x+ C3xe^x-12x^2e^x+ (½)e^(5x)+ 2x

C1+C2+1/2=1/2

C1=-C2

y(0)=1/2

y^'= C2 e^x + C3 e^x x + C3 e^x - 12 e^x x^2 - 24 e^x x + (5 e^(5 x))/2 + 2

C2+C3+5/2+2=5/2

C2+C3=-2

y^' (0)=5/2

y^'' = C2 e^x + C3 e^x x + 2C3 e^x - 12 e^x x^2 - 24 e^x + (25 e^(5 x))/2 - 48 e^x x

C2+2C3-24+25/2=-9/2

C2+2C3=7---- C2+C3=-2

C3=9

C2=-11

C1=11

, ,y^'' (0)=-9/2

Aplicando las condiciones del problema :

yg= 11- 11e^x+ 9xe^x-12x^2e^x+ (½)e^(5x)+ 2x

Espero haberte ayudado .