Question

Calcular los siguientes límites.

La siguiente imagen representa la gráfica de la función f(x), de acuerdo con ella, identifique los siguientes límites

Answer 1

La función  f₍ₓ₎  es una función a trozos cuya gráfica no tiene un valor de tendencia particular en el extremo izquierdo de la recta real  x  y que tiende al valor  2  de la función en el extremo derecho de ese eje coordenado. Los límites cuando la variable  x  tiende a los valores    x  =  0    y    x  =  2    no existen.  

Desarrollo de la respuesta:  

$\bold{a)\quad \lim_{x \to -\infty} f_(x)~=~-\infty \qquad el~limite~no~existe}$  

El primer sector de la función  f₍ₓ₎  es una recta de pendiente positiva; lo cual implica que el límite de  f₍ₓ₎  cuando    x  →  -∞     no existe.  

$\bold{b)\quad \lim_{x \to +\infty} f_(x)~=~2}$  

El tercer sector de la función  f₍ₓ₎  es una recta horizontal o función constante; lo cual implica que el límite de  f₍ₓ₎  cuando    x  →  +∞     existe y es igual a  2.  

$\bold{c)\quad \lim_{x \to 0^{-}} f_(x)~=~0}$  

$\bold{d)\quad \lim_{x \to 0^{+}} f_(x)~=~1}$  

c) y d) representan los límites laterales de la función cuando  x  tiende a  0.  En la gráfica se observa que el sector recta ascendente, por la izquierda, tiende al valor  0  de la función. Por la derecha, el sector representado por una curva decreciente, tiende al valor  1  de la función. En este caso, se dice que el límite, cuando  x  tiende a  0,  no existe pues los límites laterales existen pero son distintos.  

$\bold{e)\quad \lim_{x \to 2^{-}} f_(x)~=~-\infty \qquad el~limite~no~existe }$  

$\bold{f)\quad \lim_{x \to 2^{+}} f_(x)~=~2}$  

e) y f) representan los límites laterales de la función cuando  x  tiende a  2.  En la gráfica se observa que el segundo sector representado por una curva descendente, por la izquierda, se desplaza indefinidamente hacia el extremo inferior de la recta real  y;  es decir, el límite no existe. Por la derecha, el sector representado por una recta horizontal, tiende al valor  2  de la función. En este caso, se dice que el límite, cuando  x  tiende a  2,  no existe pues uno de los límites laterales no existe.  

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