Question

Determine las bolas en R para la distancia d(x,y) = min{1,|x − y|}.

Answer 1

Para un punto x de R, la bola de radio r es el conjunto de los puntos que distan de x una distancia r o menos. Si definimos la distancia d(x,y) = min{1,|x − y|}.

$B(x,r)= \{y /d(x,y)\leq r\}\\\\d(x,y)=min\{1,|x-y|\}\leq r$

Vemos que d(x,y) ≤ 1  ∀x,y Entonces:

• Tenemos que las bolas de radio mayor que 1 son todo R, dado que para todo punto la distancia entre dicho punto y el centro va a ser menor o igual que 1 por definición.

• Las bolas con radio menor que 1 son las bolas usuales (euclidianas). Como estamos trabajando en R, dado un punto central x dicha bola será el intervalo (x-r,x+r) si hablamos de una bola abierta o [x-r,x+r] si es cerrada.