Question

1- Un especialista en mezclas de café desea ex.
portar el grano en bolsas que contengan un ki-
logramo. Debe combinar granos de los estados
de Chiapas y Veracruz. El costo por kilogramo
de estos tipos de café es $60 y $48, respectiva-
mente. Si la bolsa cuesta $50, ¿qué cantidad
de cada café de cada tipo lleva dicha mezcla?

2- Una piscina puede ser llenada por tres tu-
bos, A, B y C. El tubo A por sí solo puede
llenar la piscina en 8 horas. Si los tubos A
y C se usan juntos, la piscina se puede lle-
nar en 6 horas; si el B y el C se usan juntos,
tardan 10 horas. ¿Cuánto tiempo tarda en
llenarse la piscina si se usan los tres tubos?

3-Una población estable de 35 000 aves vive
en tres islas. Cada año, 10% de la población
de la isla A migra a la isla B, 20% de la po-
blación de la isla B migra a la isla C y 5%
de la población de la isla C migra a la isla
A. Encuentra el número de aves en cada isla
si la cuenta de la población de cada isla no
varía de año en año.

Ayuda por favor, no se como plantear las ecuaciones.
Tema de Sistemas de ecuaciones 2x2.

Answer 1

Respuesta:

Primer Problema:

1. 50 = 60C + 48V
2. 1 = C + V
3. C = $\frac{1}{6}$ y V = $\frac{5}{6}$

Segundo Problema:

1. 8A = 1
2. 6A + 6C = 1
3. 10B + 10C) = 1
4. xA + xB + xC = 1
5. x = $\frac{40}{9}$

Tercer Problema:

1. A + B + C = 35000
2. 0.1A + B - 0.2B = B
3. 0.2B + C - 0.05C = C
4. 0.05C + A - 0.1A = A
5. A = 10000, B = 5000, C = 20000

Explicación paso a paso:

Problema 1:

El primer problema se resuelve colocando el sistema de ecuaciones, dado que en el primer problema sabemos que ambos paquetes de cafe son de 1 Kg y debe tener un Kg la mezcla, se obtiene:

1_Kg_Mezcla = 1_Kg_Chiapas + 1_Kg_Veracruz

La segunda ecuacion se obtiene del costo total de la mezcla, dado que debemos vender la mezcla a $50, tenemos que saber en que proporcion deben estar para cumplir con  el valor deseado, por tanto ahora relacionamos los precios:

$50 = $60_Chiapas + $48_Veracruz

Y obtenemos las dos ecuaciones que se despejan y nos da el resultado con la cantidad.

Problema 2:

Este problema es mas confuso si no se tiene cuidado, ya que lo que nos piden es obtener las horas que le toma a una tuberia llenar una piscina, entonces planteando una primera ecuacion con sentido obtenemos que:

#Piscinas_que_se_llenaran = Tuberias * Horas

Donde sabemos que solo nos interesa llenar una piscina, entonces:

#Piscinas_que_se_llenaran = 1

Como sabemos que a la tuberia "A" le tomara 8 horas, procedemos a establecer esa ecuacion primero:

8 Horas * Tuberia (A) = 1

Donde si despejamos el valor de "A" obtendremos:

A = $\frac{1}{8}$

Lo que significa que cada hora, la tuberia "A" nos llenara una octava parte de la piscina.

Siguiendo con la misma logica, colocamos nuestra segunda ecuacion.

Como sabemos que ahora las tuberias van a trabajar juntas, debemos sumar los valores de ambas tuberias:

6 Horas * Tuberia (A) + 6 Horas * Tuberia (C) = 1

De donde despejando el valor de "C" obtenemos que:

C = $\frac{1}{24}$

Y por ultimo colocamos bajo la misma logica nuestra tercer ecuacion dada:

10 * C + 10 * B = 1

Donde despejando "B":

B = $\frac{7}{120}$

Asi con estos valores de todas las tuberias escribimos nuestra ultima ecuacion que establecemos cuando todas las tuberias estan trabajando al mismo tiempo:

xA + xB + xC = 1

Donde despejando "x" que son las horasque trabajaran todas las tuberias nos da:

x = $\frac{1}{A+B+C}$ = $\frac{40}{9}$

Problema 3:

Se establece nuestra primer ecuacion que nos indicara la cantidad total de aves:

A + B + C = 35000

Ahora, para establecer nuestras ecuaciones siguientes procederemos a usar un poco de logica:

Busquemos una ecuacion que nos modele el comportamiento individual de cada isla:

Poblacion_de_Isla_Final = Migracion_de_Isla + Poblacion_de_Isla_Inicial + Inmigracion_de_Otras_Islas

Nota: (Inmigracion significa que entra poblacion)

Sabemos que el valor final de aves en cada isla sera el mismo que el valor inicial de aves, entonces:

Poblacion_de_Isla_Final = Poblacion_de_Isla_Inicial

Teniendo esto en cuenta, si la poblacion inicial de cada isla, por un decir es "A", la poblacion final tambien sera "A". Escribiendo bajo esta logica las ecuaciones de cada isla:

1. 0.1A + B - 0.2B = B
2. 0.2B + C - 0.05C = C
3. 0.05C + A - 0.1A = A

Como podemos observar todas estas ecuaciones se pueden reducir, entonces:

1. 0.1A = 0.2B
2. 0.2B = 0.05C
3. 0.05C = 0.1A

Donde despejando de la primer ecuacion "A":

A = 2B

Despejando de la segunda ecuacion "B" :

B = 0.25C

Donde entonces obtenemos que:

A = 0.5C

Y despejando en nuestra ecuacion inicial:

A + B + C = 35000

Sabemos que:

A = 0.5C y B = 0.25C

Entonces:

1.75C = 35000

Por tanto:

C = 20000

A = 10000

B = 5000.