Question

Determine por comprensión el conjunto
P = {5; 10; 17;...; 82}

Answer 1

La expresión de este conjunto sería la siguiente

P = { a / a = n(n+4) + 5,  0 ≤ n ≤ 7 ∧ n∈ N}

Para poder ver esto, simplemente debemos ver que la secuencia que siguen los elementos

a0 = 5

a1 = 10 = 5 + 5 = a0 + 5

a2 = 17 = 10 + 7 = a1 + 7

a3 = a2 + 9 = 26

a4 = a3  + 11 = 37

a5 = a4 + 13 = 50

a6 = a5 + 15 = 65

a7 = a6 + 17 = 82

Como se ve, la secuencia es recursiva, y en general se da de la siguiente manera

$a_n = a_{n-1} + 2(n+1) + 1\\\\a_0 = 5$

Si se resuelve esta ecuación, se llega a que

$a_n = n(n+4) + a_0 = n(n+4) + 5$

Otra forma de expresarlo, utilizando completación de cuadrados es

$n(n+4) = n^2 + 4n + (4 - 4) = (n^2 + 4n + 4) - 4 = (n+2)^2 - 4\\\\n(n+4) + 5 = (n+2)^2 - 4 + 5 = (n+2)^2 + 1$