Question

Hallar el primer término y el termino general de una progresión geométrica tal que tal que a4=108 y a2=3

Answer 1

Interpolación de términos en una progresión geométrica (PG)

El ejercicio mostrado hay que resolverlo interpolando (intercalando) términos puesto que nos dan como datos el 4º y el 2º término. Es decir:

• a₂ = 3
• a₄ = 108

Para hallar lo que nos piden hay que calcular la razón "r" de esta PG que es el número fijo por el que se multiplica cada término para obtener el siguiente.

Existe una fórmula demostrada para calcular la razón "r" de una PG para la cual necesitamos esos datos y dice:

$r=\sqrt[m+1]{\dfrac{b}{a} }$

En nuestro ejercicio diremos que:

a₂ = a = 3

a₄ = 108

m = 1  (cantidad de términos que podemos interpolar entre los que nos dan y que claramente vemos que es solo uno, concretamente es  a₃)

Sustituyo en la fórmula anterior y resuelvo:

$r=\sqrt[1+1]{\dfrac{108}{3} }=\sqrt[2]{36} =6$

Conocida la razón y apoyándonos en el término a₂ = 3  que ya conozco, recurro a la fórmula del término general de cualquier PG, y despejo el primer término  a₁ :

$a_n=\ a_2=a_1*r^{n-1} \\ \\ a_1=\dfrac{a_2}{r^{2-1}} =\dfrac{3}{6}=0,5$

Conocido el primer término se vuelve a escribir la fórmula del término general y se sustituye el dato de  "a₁" por su valor y el dato de "r" por el suyo.

Término general:   $a_n=0,5*6^{n-1}$

Con esta fórmula específica del término general de esta PG podemos saber el valor de cualquier término simplemente sustituyendo "n" por el número de orden del término en la PG, por ejemplo, si me piden saber el 7º término  a₇  opero así:

$a_7=0,5*6^{7-1}=0,5*6^6=0,5*46656=23328$

Y ahí nos sale el valor del séptimo término. Así con todos.

Saludos.