Question

1) Considerando el criterio de la primera derivada determine los intervalos en los cuales la función es creciente o decreciente C(x)=8000+200x-0.2x2

2) La gerencia de Centinela, ha determinado que la función del costo marginal diario asociado con la producción por unidad esta dada por la función: C´(X)=0.000006X^2-0.006X+4
Donde C’(x) se mide en pesos y ¨X¨ denota el número de unidades producidas.

La Gerencia también ha determinado que el costo fijo diario incurrido en la producción de sus productos, es de 100 pesos

Determine el costo total diario al producir a) Las primeras 500 unidades b) De la 201 a la 400va unidades.

Answer 1

La función $C(x)=8000-200x-0,2x^2$ es creciente en $(-\infty,500)$ y decreciente en $(500,+\infty)$. En Centinela el costo de producir las primeras 500 unidades es de $3100 y de producir entre la unidad 201 y la unidad 400 es de $599.

Explicación paso a paso:

1) Considerando el criterio de la derivada primera, esta es negativa cuando la función es decreciente y positiva cuando la función es creciente. La derivada de C(x) es:

$C'(x)=200-0,4x$

Función con una raíz que delimita el intervalo de crecimiento y el intervalo de decrecimiento. Igualándola a 0 queda:

$200-0,4x=0\\\\x=\frac{200}{0,4}=500$

Sabemos que la función es lineal decreciente, por ende para x<500 la función C'(x) es positiva y por ende C(x) es creciente. En cambio para x>500, la derivada es negativa y por ende C(x) es decreciente.

2) Tenemos la derivada de la función costo, por lo que:

a) El costo marginal de producir las primeras unidades 0 a 500 es:

$C=\int\limits^{500}_0 {0,000006x^2-0,006x+4} \, dx\\\\C=[\frac{0,000006}{3}x^3-\frac{0,006}{2}x^2+4x]^{500}_0\\\\C=3000$

Si suponemos que en todo el día se produjeron las 500 unidades, el costo total es este costo más el costo fijo CT=3000+100=3100

b) Ahora el costo marginal de producir desde la unidad 201 a la 400 es:

$C=\int\limits^{400}_{201} {0,000006x^2-0,006x+4} \, dx\\\\C=[\frac{0,000006}{3}x^3-\frac{0,006}{2}x^2+4x]^{400}_{201}\\\\C=549$

En el mismo día se produjeron estas unidades pero también las unidades de la 0 a la 200. Con lo cual el costo fijo por producir de la unidad 201 a la unidad 400 se puede estimar en $50. Queda CT=549+50=599.