Question

La suma del número de subconjuntos unitarios con el número de subconjuntos binarios de “A” es igual a 55. Halla
n(A)

Answer 1

La cardinalidad del conjunto A es 10

Para poder resolver este ejercicio, debemos saber que el número de subconjuntos unitarios es igual a m = n(A) y que el número de subconjuntos binarios es m!/(2 * (m-2)! ) = m(m-1) / 2

Por lo que la suma de estos dos es

m + m(m-1)/2

( 2m + m² - m ) / 2

( m² + m ) / 2

m(m+1)/2

Ahora bien, esta suma debe ser igual a 55, es decir

m(m + 1)/2 = 55

m² + m = 110

m² + m - 110 = 0

Es decir, m debe satisfacer esta ecuación de segundo grado, esto se logra utilizando la ecuación resolvente, es decir

$a = 1, b = 1, c = -110\\\\m = \frac{-b \pm \sqrt{ b^2 - 4ac }}{2a} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 440}}{2} = \frac{-1 \pm 21}{2}\\\\m = 10\\\\m = -11$

Como m debe ser positivo, m = 10

Es decir, la cardinalidad del conjunto A es 10