Un rectángulo tiene perímetro de 24 unidades. Si la diferencia entre los dos lados es menor que 6 unidades, determine el intervalo de valores para la longitud del lado más largo.
Respuestas
La longitud del lado más largo debe estar entre 3 y 9 unidades.
Desarrollo de la respuesta:
Llamemos
x = longitud del lado más largo del rectángulo
y = longitud del lado más corto del rectángulo
El enunciado indica que la diferencia entre los lados debe ser menor que 6, esto se expresa:
|x - y| < 6
Lo expresamos como valor absoluto porque es una distancia y debe ser positiva, y porque esa diferencia está entre 0 y 6, por lo que al expresarlo como valor absoluto se representa como un intervalo acotado.
De acuerdo con las propiedades:
|x - y| < 6 ⇒ -6 < x - y < 6
Necesitamos expresar el intervalo en función solo de la longitud del lado más largo, x. Para ello usamos como ecuación auxiliar el Perímetro P:
P = 2x + 2y ⇒ 24 = 2x + 2y ⇒ y = 12 - x
Sustituyendo en el intervalo previo
-6 < x - y < 6 ⇒ -6 < x - (12 - x) < 6 ⇒
-6 < 2x - 12 < 6 ⇒ -6 + 12 < 2x - 12 + 12 < 6 + 12 ⇒
6 < 2x < 18 ⇒ 6/2 < 2x/2 < 18/2 ⇒
3 < x < 9 ⇒ x ∈ (3, 9)
La longitud del lado más largo debe estar entre 3 y 9 unidades para que se cumplan las condiciones dadas.
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