Question

teoria de conteo
a. ¿Cuántos números de cinco cifras existen, con la única condición de no repetir ningún número dígito? (con procedimiento)

b. ¿Cuántos mensajes diferentes pueden enviarse con una sucesión de cuatro líneas y tres puntos? (con procedimiento)

Answer 1

COMBINATORIA.  EJERCICIOS

a.)

Contamos con un total de 10 dígitos (del 0 al 9) y hemos de hacerlos a grupos de 5 cifras con la condición de no repetir ninguna cifra.

Esto se resuelve con el modelo combinatorio llamado "variaciones" y en este caso serán:

VARIACIONES DE 10 ELEMENTOS (m) TOMADOS DE 5 EN 5 (n)

(no son combinaciones porque importa el orden en que coloquemos los 5 elementos elegidos puesto que no será lo mismo el número 12345 que el número 54321, por ejemplo, siendo los mismos dígitos, ok?)

La fórmula para calcular este tipo de modelo es:

$V_m^n=\dfrac{m!}{(m-n)!} \\ \\ \\ V_{10} ^5=\dfrac{10!}{(10-5)!}=\dfrac{10*9*8*7*6*5!}{5!} =30240$

Pero a esa cantidad de números hay que restarle TODOS los que comiencen con el cero ya que todos esos números no se consideran de 5 cifras sino de 4 porque el cero no es una cifra significativa y en el resultado obtenido ahí están incluidos todos esos números.

Así pues, hemos de tomar los 10 dígitos y "variarlos" de 4 en 4 ya que la cifra primera de esos números la consideramos siempre como el cero. Así pues tenemos esto:

VARIACIONES DE 10 ELEMENTOS (m) TOMADOS DE 4 EN 4 (n)

$V_{10} ^4=\dfrac{10!}{(10-4)!}=\dfrac{10*9*8*7*6!}{6!} =5040$

Restamos de la cantidad hallada en el otro cálculo:

30240 - 5040 = 25200 números

_____________________________________________

b.)

Aquí habrá que representarlos pues no veo la forma de usar un modelo combinatorio, que no digo que no lo haya pero en ese caso no lo conozco.

1.   _ _ _ _ . . .
2.   _ _ _ . _ . .
3.   _ _ . _ _ . .
4.   _ . _ _ _ . .
5.   . _ _ _ _ . .
6.   _ _ _ . . _ .
7.   _ _ . . _ _ .
8.   _ . . _ _ _ .
9.   . . _ _ _ _ .
10.   . . _ _ . _ _
11.   . . _ _ _ . _
12.   . . _ . _ _ _
13.   _ _ _ . . . _
14.   _ _ . . . _ _
15.   _ . . . _ _ _
16.   . . . _ _ _ _
17.   _ . _ . _ . _
18.   . _ . _ . _ _

Se contabilizan 18 mensajes que son las 18 maneras de intercalar rayas y puntos. No creo haberme dejado ninguna pero podría estar en un error.

Saludos.

Answer 2

como se quiere formar números de cinco cifras con los dígitos 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9, la primera cifra que corresponde a la decena de millar no debe ser el dígito 0; así el número de dígitos que pueden estar en la primera cifra corresponde a una permutación de nueve elementos en grupos de tamaño 1, esto es, P(9,1)=9.

En las cifras dos a cuatro pueden estar cualesquiera de los nueve dígitos restantes (ya que fijamos uno en la primera cifra) incluido el 0; así que el número de dígitos que pueden estar en las cifras dos a cinco corresponden a una permutación de nueve elementos en grupos de tamaño 4, esto es, P(9,4)=3,024.

Finalmente la cantidad de números de cinco cifrs que existen sin ningún dígito repetido es:

[P(9,1)][P(9,4)]=27,216