Question

Determina el radio de la orbita de un satelite del planeta Júpiter a partir de la masa de dicho planeta y del periodo de revolución del satélite.​

Answer 1

El radio orbital medio de un satélite de Júpiter a partir de la masa del planeta y periodo de revolución del satélite es $r=\sqrt[3]{\frac{T^2}{3,11\times 10^{-16}}}$

Explicación:

La expresión que relaciona el periodo orbital con el radio de la órbita es la tercera ley de Kepler:

$\frac{T^2}{a^3}=C$

Donde C es una constante que debemos hallar deduciendo esta expresión de la ley de gravitación universal. Cabe destacar que en ella utilizamos unidades MKS por lo que el periodo hay que pasarlo a segundos y la distancia dará en metros.

$F=G\frac{m_{jup}.m_{s}}{r^2}\\\\m_s\frac{v^2}{r}=G\frac{m_{jup}.m_{s}}{r^2}\\\\v=\frac{2\pi.r}{T}=>m_s\frac{4\pi^2r}{T^2}=G\frac{m_{jup}.m_{s}}{r^2}\\\\\frac{4\pi^2r^3}{T^2}=G.m_{Jup}\\\\\frac{T^2}{r^3}=\frac{4\pi^2}{G.m_{Jup}}=\frac{4\pi^2}{6,674\times 10^{-11}.1,9\times 10^{27}kg}\\\\\frac{T^2}{r^3}=3,11\times 10^{-16}\frac{s^2}{m^3}$

Con esta expresión, se despeja el radio orbital y se reemplaza el periodo:

$r=\sqrt[3]{\frac{T^2}{3,11\times 10^{-16}}}$