Ley del enfriamiento de Newton
Con esta ley se obtiene la temperatura T de un cuerpo en función del tiempo t; donde T´ es la temperatura ambiente, el modelo matemático que la rige es:
T = T´ + Cekt
Donde:
T´ = temperatura del ambiente
T = temperatura del cuerpo después de cierto tiempo, además T < T´
C y K = constantes
a) Una barra de metal se extrae de un horno cuya temperatura es de 250°C. Si la temperatura del ambiente es de 32°C y después de 10 minutos la temperatura de la barra es de 90°C, ¿cuál es su temperatura después de 30 minutos?
Respuestas
La temperatura a los 30 min es 90ºC
Explicación paso a paso:
Se tiene la ecuación de enfriamiento de Newton
T = T´ + Ce^kt
donde se sabe que la temperatura ambiente es T´ = 32ºC
Para t = 0, la temperatura de la barra es T(0) = 250ºC, sustituyendo:
T(0) = T´ + Ce^kt
250ºC = 32ºC + Ce^k*0
Se sabe que e^0 = 1, por lo tanto:
250ºC = 32ºC + C*1
Despejando C
C = 218ºC
El valor de C es 218
Conociendo C, se calcula k:
Para t = 10 min la temperatura de la barra es T(10) = 90ºC, sustituyendo:
T(10) = T´ + Ce^kt
90ºC = 32ºC + 218*e^k*10
Despejando k
(90ºC - 32ºC)/218= e^k*10
29/109 = e^k*10
Aplicando Ln a ambos lados de la ecuación:
ln(29/109) = k*10
k = ln(29/109)/10 = -0,1324
El valor de k es -0,1324
Se calcula la temperatura de la barra para t = 30 min, sustituyendo:
T(30) = 32ºC + 218*e^-0,1324*10
T(30) = 90ºC
La temperatura a los 30 min es 90ºC