Question

Dos empresas con una gran cantidad de empleados consideran la posibilidad de ofrecer en conjunto el servicio de guardería para los hijos de sus empleados. Como parte de su estudio de viabilidad, desean saber el costo semanal medio de los cuidadores de niños. En una muestra de 10 empleados que han contratado a cuidadores para la atención de sus hijos, se encontraron las siguientes cantidades gastadas la semana pasada: $107, $92, $97, $95, $105, $101, $91, $99, $95, $104.
a) Determine un intervalo de confianza de 90% para la media poblacional.
b) Interprete el resultado.

Answer 1

Se puede esperar, con un 90% de confianza, que la media poblacional del costo semanal de los cuidadores de niños se encuentre entre $96,18 y $101,02; es decir, que las empresas cancelen semanalmente un monto promedio que esté en ese intervalo calculado.

Explicación paso a paso:  

a) Determine un intervalo de confianza de 90% para la media poblacional.

Necesitamos conocer la media aritmética del costo semanal de los cuidadores de niños y su desviación estándar, para luego proceder a calcular el intervalo de confianza mediante la distribución t de Student:

1. La media aritmética  

La media es el promedio de los valores de una variable, es la suma de los valores dividido por el número de valores involucrados.  

$\bold{\overline{x}~=~\frac{(x_{(1)}~+~x_{(2)}~+~...~+~x_{(n)})}{n}}$  

Vamos a calcular la media del costo semanal de los cuidadores de niños:  

$\overline{x}~=~\frac{(107+92+97+95+105+101+91+99+95+104)}{10}~=~98,60$

El costo promedio semanal de los cuidadores de niños es de $98,60.

2. Desviación estándar  

La desviación estándar es la raíz cuadrada de la Varianza muestral. Esta última es el promedio de los desvíos, con respecto a la media, al cuadrado:  

$\bold{s~=~\sqrt{s^{2}}~=~\sqrt{\frac{(x~-~\overline{x})^{2}}{n~-~1}}}$  

Vamos a calcular la desviación estándar de la media del costo semanal de los cuidadores de niños:  

$s~=~\sqrt{\frac{(107~-~98,6)^{2}~+~(92~-~98,6)^{2}+…+(104~-~98,6)^{2}}{10-1}~=~5,54$

La desviación estándar de la media del costo semanal de los cuidadores de niños es de $5,54.

3. El intervalo de confianza empleando t-student con un nivel de confianza de 90%  

El intervalo de confianza al 90% se calcula por medio de la fórmula:  

$\bold{IC_{\mu(1-\alpha)^{o}/_{o}}~=~\overline{x}~\pm~\frac{s\cdot t_{1-\frac{\alpha}{2};~(n-1)gl}}{\sqrt{n}}}$  

Vamos a calcular el intervalo de confianza de la media del costo semanal de los cuidadores de niños:  

Sean:    t(90, 9)  =  1,383 (valor tabulado)

 

$\bold{IC_{90^{o}/_{o}}~=~96,18~\leq~\overline{x}~\leq~101,02}$  

b) Interprete el resultado.

Se puede esperar, con un 90% de confianza, que la media poblacional del costo semanal de los cuidadores de niños se encuentre entre $96,18 y $101,02; es decir, que las empresas cancelen semanalmente un monto promedio que esté en ese intervalo calculado.