Question

1/2 x^3 y^(´´´)-3/2 x^2 y^(´´)+3xy^´-3y=0

Answer 1

La solución a la ecuación diferencial es $y=x^3+x^2+x$

Explicación paso a paso:

Esta es una ecuación de Cauchy-Euler. Una de las formas de resolverla es suponer que la solución tiene la forma $y=x^m$ donde m es la variable que vamos a determinar. Empezamos reemplazando esta solución en la expresión:

$\frac{1}{2}x^3y'''-\frac{3}{2}x^2y''+3xy'-3y=0\\\\y=x^m\\y'=m.x^{m-1}\\y''=(m-1)mx^{m-2}\\y'''=(m-2)(m-1)mx^{m-3}\\\\\frac{1}{2}x^3(m-2)(m-1)mx^{m-3}-\frac{3}{2}x^2(m-1)mx^{m-2}+3xmx^{m-1}-3x^m=0$

Ahora desglosamos las potencias de x:

$\frac{1}{2}x^3(m-2)(m-1)mx^mx^{-3}-\frac{3}{2}x^2(m-1)mx^mx^{-2}+3xmx^mx^{-1}-3x^m=0\\\\\frac{1}{2}(m-2)(m-1)mx^m-\frac{3}{2}(m-1)mx^m+3mx^m-3x^m=0\\\\\frac{1}{2}(m-2)(m-1)m-\frac{3}{2}(m-1)m+3m-3=0\\\\(m-2)(m-1)m-3(m-1)m+6m-6=0$

Desarrollamos todos los polinomios y queda una expresión en función de m:

$m^3-3m^2+2m-3m^2+3m+6m-6=0\\\\m^3-6m^2+11m-6=0$

Los valores de m son las raíces del polinomio. Por tanteo sacamos que una de ellas es m=1. Aplicamos Ruffini para hallar las otras dos:

$~~| 1 ~-6 ~~11~ -6\\1 | ~~~~1~~-5~~6\\-------\\ ~~~|1~-5~~6~~0$

Las otras dos las obtenemos del polinomio $x^2-5x+6$ y son:

$m=\frac{5\ñ\sqrt{(-5)^2-4.1.6}}{2.1}\\\\m=3\\m=2$

La solución es una combinación lineal de los $x^m$ donde m son las soluciones que hallamos:

$y=x^3+x^2+x$