Se conecta un condensador de 20 µF a un generador de 200 V a través de una resistencia de 0,5 MΩ.
a) Hallar la carga del condensador al cabo de 0 s, 5 s, 10 s, 20 s, 40 s y 100 s después de haberlo conectado.
b) Hallar la intensidad de la corriente de carga en esos mismos instantes.
c) ¿Qué tiempo sería necesario para que el condensador adquiriese su carga final si la intensidad de la corriente de carga fuese en todo momento igual a la inicial? Comparar este tiempo con la corriente de tiempo del circuito.
d) ¿Qué tiempo será necesario para que la carga del condensador aumente de 2 a 4 mC?
Respuestas
Hola.
Este problema correponde a un circuito RC (Resistencia + Condensador).
La segunda Ley de Kirchoff establece que las caidas de tension del capacitor (1/C•Q) y la Resistencia (dQ/dt•R) es igual a la tension de la fuente.
Obtenemos la Ecuacion diferencial:
RdQ/dt + 1/CQ = E
Q : Carga en funcion del tiempo en Coulombs C
R : Resistencia en Ohmios R = 500 000 Ohmios
C: Capacitancia en Faradios C = 0.00002 F
E : Tension en Voltio E = 200 V
Con la Condicion de que Q(0) = 0 (C)
Al resolver la ED se obtiene la funcion
Q(t) = 0.004 - 0.004e^-10t (C)
Obtenemos la corriente I(t) al Derivar Q(t)
dQ/dt = I(t) = 0.04e^-10t
a y b) Evaluamos las funciones I(t) y Q(t)
para los tiempos t = 5,10,20,40 y 100 segundos
Q(0) = 0 (C)
Q(5) = 0.004(C)
Q(10)= 0.004 (C)
de igual manera Q(20)=Q(40)=Q(100)=0.004 C
I(0) = 0.04 (A)
I(5) = 7.71•10^-24 = 0 A
conforme t crece von valores de 10,20,40 y 100 segundos I tiende a 0 A
La carga final del condensador va a ser de 0.004C y la corriente en el Circuito luego de un tiempo va a ser 0A
c) Asumiendo que I(t) es la misma al inicio y a final se tiene que I(t) = 0.004 A
Para hallar el tiempo se carga se resuelve la Integral que esta adjuntada en la Fotografia
y resulta que el tiempo de carga T = 0.1 s
Ahora tomamos la corriente que encontramos anteriormente y Consideramos la carga que habiamos encontrado
Q(t) = 0.004 - 0.004e^-10t (C)
Observamos que
Q(0.60) = 0.003999 C = 0.004 C
Conforme t tiende a crecer
Q(t) tiende a 0.004 C
Por lo tanto T = 0.60 s
Al comparar ambos T se nota que 0.60 s > 0.1 s
es decir el capacito se carga mas rapido al condiderar la corriente constante I(t) = 0.04 A
d) Se halla el tiempo en que el capacitor a acumulado 2mC = 0.002 C
se "despeja" t
0.002 = 0.004 -0.004e^-10t
t = 0.069 s
Conocemos que el tiempp para que se cargue con 4mC = 0.004 C es t = 0.60
Para calcular el tiempo empleado en cargar de 2mC a 4 mC
se tiene : 0.60 - 0.069 = 0.5306 s
Espero te sirva, te adjunto unas fotografias con todos los calculos. Saludos
